Hvordan lure, manipulere og presentere deg selv i et gunstig lys i matematikkens storhet?

I begynnelsen av november 2020 refererte Mateusz Morawiecki til matematikere fra Senter for matematisk modellering at de viste at kvinnestreiken forårsaket en økning i infeksjoner med 5000. Jeg har venner i dette senteret - de fikk bare vite at de hadde spådd dette fra en tale av Mr. - til Mateusz.

Jeg vil understreke at jeg, kanskje i motsetning til tittelen på artikkelen, verken vil rose eller kritisere den nåværende statsministeren. jeg tror matematikk er ikke hans sterke side, men en slik intellektuell mangel vil ikke reise innvendinger fra de fleste av dere. Og generelt sett, ville ikke en stor matematiker vært i en ansvarlig posisjon, men ikke klok i livet og politikken? Jeg vil også nevne at Donald Tusk, i sin tidligere presidentkampanje, sa (som på spøk): "du kan ikke skrive matteeksamener uten å laste ned." Du vet, matematikkskyen er din mann, akkurat som meg. Julian Tuwim var snobbet om sin uvitenhet om matematikk. Og de kalte meg til styret. Jeg vil bare legge merke til at vi hadde premiere i matematikk i Polen. Det var (fem ganger) Kazimierz Bartel, 1882-1941, rektor ved Lviv Polytechnic, et utmerket geometer. Jeg kan ikke og prøver ikke å dømme hans regjeringstid.

Å tørke munnen er allsidig og gammel. Bøker, tynne og tykke, er skrevet om det. Det er mange måter, jeg vil snakke om noen, jeg vil begynne med de som er sydd med tykke tråder. Kanskje tidligere var det enda flere slike metoder, fordi i den monumentale og første i sitt slag Dictionary of the Polish Language Samuel Bogumil Linde (publisert i 1807-1814) leser vi:

matematiker, matematisk matematiker, matematisk sjonglør.

Vi kjenner ikke de enkleste handlingene, og vi ønsker virkelig å bevise oss selv. For noen år siden skrev en journalist fra Olsztyn en lang utstilling om hvordan produsentene lurer oss. For eksempel: på en pakke smør står det "fettinnhold 85 prosent" - er det 85 prosent i en terning eller i en kilo? Hele Polen kvitret. Men bare smarte matematikklærere (det vil si alle matematikklærere!) la merke til en feil i resonnementet til en av våre tidligere statsministre, Kazimir Martsinkevich, for mange år siden. Jeg skal endre tallene litt for å gjøre det lettere å se. Han sa noe sånt som dette: Vi brukte 150 millioner zloty på veibygging, og mottok 50 millioner fra Brussel, så vi bruker bare 100. Vi sparte 50 prosent. Vel, 50/100 er 50 prosent. Hvor er feilen? Og hvis vi hadde 100 millioner, hvor mye ville vi spare? Feilen er subtil. Apropos prosenter er det viktig å avklare hvor vi får dem fra. Dette er en veldig vanlig feil lærere gjør. De sier at en prosent er en hundredel. Dette er ikke tillatt! Hundre prosent, men det er alltid noe. Hvis vi bruker 150 og bruker 100, sparer vi 50 av 150, som er 33 %. Statsminister Martsinkevich var fysikklærer. Enten var han en så dårlig lærer at han ikke skjønte prosenter, eller så manipulerte han dem bevisst for å få best politisk effekt. Jeg ville faktisk foretrukket det siste. La meg minne deg om en veldig gammel anekdote fra før krigen. "Pappa, jeg sparte 20 øre i dag!" "Det er veldig bra, sønn! Hvordan? "Jeg kjørte ikke trikk til skolen, jeg løp etter den!" "Ah, sønn, løp for andre gang etter en taxi - du vil spare 5 zloty!"

Ideer, ideer! De fleste ideene om såkalt kreativ regnskap er basert på juridiske smutthull (lov skrevet på kneet = dritt) og avviker fra forestillingen om gjennomsnitt. Her er et eksempel: hvordan kan alles lønn heves samtidig som gjennomsnittslønnen senkes? Enkelt: gi en liten høyning til de som allerede jobber, og ved å gjøre det, ansett mange underbetalte folk. Gjennomsnittet vil falle... og i sammenheng med den globale lønnsregningen var det uaktuelt. Angivelig, frem til 1989, oppførte en viss direktør i et statseid foretak på denne måten.

Du kan kjempe direkte ved å bruke den matematiske analfabetismen til mange samfunnskretser og kombinere matematikk (??) med litteratur (??). Her er en demagogisk, men fiktiv tekst (riktignok basert på en ekte publikasjon, før 2010 for oppmerksomhet).

Sykepleierne vil ha det bedre. For to år siden var gjennomsnittlig nettolønn til en sykepleier i Sochaczew fylke PLN 1500. I fjor økte regjeringen utgiftene til helsetjenester med en halv milliard zloty. Dette vil være dobbelt så mye som tidligere år. Hermenegilda Kotsyubinskaya, en sykepleier ved Central Clinical Hospital, sier: forrige måned var lønnen min 4500 PLN. Dette betyr en enorm, tredobling av helseinntektene.

Er det noen å lure? Selv om tallene er de samme, kan du se hva vi sammenligner her. gjennomsnittlig lønn på provinssykehuset med lønn til én person i en gitt måned. Kanskje er Hermenegilda sjef for sykepleierne, kanskje har hun hatt mange ekstravakter denne måneden, og dessuten har CRH en spesiell lønnsskala? Videre er de nevnte PLN 1500 500 500 nettolønn og det er ikke spesifisert om fru Kociubinskas lønn er netto eller brutto. En halv milliard er et enormt beløp for et individ, men hva betyr det på nasjonalt nivå? Vi merker med en gang at «en halv milliard» høres bedre ut som propaganda enn «500 millioner». Hva XNUMX millioner zloty gikk til er ikke rapportert. Det er ikke kjent hvorfor XNUMX millioner zł dobbelt så mye.

Hvordan kan jeg forbedre læringsresultatene mine? Skole X blir kritisert av utdanningsmyndighetene for dårlige utdanningsresultater (dvs. en lav GPA, selv om dette er forskjellige ting!). Rektor finner en måte å gjøre ting litt bedre på. Han flytter flere elever fra klasse A til klasse B og når målet sitt: Gjennomsnittsskåren i begge klassene har økt.

Hvordan er dette mulig? Hvis det er en elev i klasse A hvis GPA er lavere enn gjennomsnittet i klasse A, men høyere enn gjennomsnittet i klasse C, vil flytting av ham til klasse B ha samme effekt. Tro er basert på denne effekten Mechislav-pesten i Leshek Mazan, forfattere av "Galician Encyclopedia" (forlaget "Anabasis", Krakow), at dagen da Sigismund III Vasa og hoffet hans flyttet til Warszawa, økte det gjennomsnittlige intelligensnivået i begge disse byene.

Vi har en tendens til å tolke data. Dette er den vanligste ikke-elementære strekningen. Jeg starter med det mest dumme, men pålitelige eksemplet. For mange, mange år siden rapporterte den nå nedlagte Express Wieczorny at gjennomsnittslønnen ved universitetet i Warszawa ville være 15000 24 6 złoty (den gang złoty). Rektor var ment å få den høyeste lønnen, 15, den laveste nybegynnerassistenten, XNUMX. Gjennomsnittlig XNUMX!!! manipulasjon begrepet gjennomsnitt er et tema for habilitering.

Her er ytterligere to eksempler. Vet du at gjennomsnittspersonen i Polen har mindre enn to bein? Vel, ja: det er de som har en, men ingen har tre! Det andre eksemplet er mer subtilt. Vel, min kone og jeg har våre egne biler. Transportøren min bruker mye drivstoff, 12,5 liter per 100 km. Det betyr at for 100 km trenger jeg 8 liter. Min kone har en bitteliten Mitsubishi - den bruker 8 liter per 100 km. Dette er også mye, men for at beregningene skal være enkle må dataene bearbeides litt. Vi sykler ofte den samme. Derfor er det gjennomsnittlige drivstofforbruket til våre to biler det aritmetiske gjennomsnittet på 8 og 12,5. Legg sammen, del på 2. Det blir 10,25 liter. Det er selvsagt viktig at vi ofte sykler samme vei. Så hvor er muligheten for manipulasjon?

Å, her. Visste du at USAs drivstofforbruk beregnes annerledes? De vil svare: "Jeg kjører så mange mil fra en gallon." La oss la konverteringen av gallon til liter og miles til kilometer, men bruke den på de nevnte bilene: mine og Our Marriage's Sole Review Board. Jeg skal bare kjøre 8 km per liter (100 delt på 12,5), min kone 12,5 km (100 delt på 8). I gjennomsnitt vil en liter ta oss ... det aritmetiske gjennomsnittet av disse tallene. Vi har allerede beregnet dette en gang. Det blir 10 og et kvarter – denne gangen 10,25 kilometer.

La oss gå tilbake til europeiske standarder. Hvis jeg kjører 10,25 km på en liter, hvor mange liter trenger du for 100? La oss ta en kalkulator: 100 delt på 10,25 er ... 9,76. Snittforbruket på våre biler er 9,76 ... og før det var det 10,25. Hvor er feilen? Nei! Egentlig ikke i matematikk, men i tolkningen av ordene «vi reiser like ofte». Nøye analyse vil vise at i den første tolkningen betyr dette "vi kjører samme antall kilometer per måned", og i den andre "bruker vi samme mengde bensin." En tredje variabel kan legges til: vi bruker like mye tid på å kjøre bil (kona kjører mye raskere) ... og det ville vært annerledes. Skal vi måle noe, må vi ha et målebånd.

mer subtile situasjoner. Simpsons paradoks. Vi utforsker hva som er bedre for å fjerne flass: Coca-Cola eller Pepsi-Cola. Vi tester på kvinner og menn. Her er dataene. Nesten alle beregninger kan gjøres i minnet.

Vær så snill, leser, sett deg ned. Bare for ikke å falle ut av følelsen. Hva er den beste drikken for å fjerne flass hos menn? Jeg har merket de større tallene i rødt og de mindre med blått. 25 er mer enn 20, ikke sant? Herrer: kjøp Cola for flass! Hva med kvinner? Sannsynligvis omvendt? Nei, 60> 53. Damer, ta en Cola.

Selskapet kjøper reklame på TV, der et lykkelig par (på gammeldags vis: en mann og en kvinne) blir kvitt denne milde plagen ved hjelp av Coca-Cola. Men det er en Pepsi-annonse. Vel, fordi det var 250 personer på testen både her og her, noe som betyr at de var jevnt fordelt. Coca-Cola hjalp 80 personer (32 %), Pepsi hjalp 100 personer, 40 %. På skjermen kaster publikum flass mens en boks med Pepsi ruller foran kameraet. "Vår generasjon har allerede valgt!"

Hvor er feilen? Nei. Jeg mener, regnestykket er greit. Eller rettere sagt bare aritmetikk. For å være matematisk korrekt må vi ta sammenlignbare prøver med samme andel M som K. Ellers gir ikke beregningene mening, som om vi beregnet gjennomsnittsvekten til en mygg og en elefant. Vi kan legge til og dele på to. Hva har vi regnet ut? Vel, gjennomsnittsvekten til en mygg og en elefant. Hva vil det gi oss? En tråd.

Men la oss ta det til politikk, til USA, selvfølgelig. Tilhengere av en av kandidatene, sier Bump, ville gråt: vi er bedre for både damer og herrer. Stem på Jozef Podskok! Triden-supportere ville skrive på bannere: Vi er best i verden. Stem and med 3 hi (Donald).

Ok, hvordan er det egentlig? Dette er den vanskeligste delen. Hva betyr "egentlig"? Vi kan si: "Sant er det som stemmer overens med virkeligheten." Imidlertid oppstår et annet spørsmål: hvordan måle "korrespondanse til virkeligheten"? Men dette er ikke lenger matematikk, og jeg vil gjerne holde meg til det, for bare her føler jeg meg trygg.

Om dette paradokset (kalt Simpsons paradoks) er basert på mange, mange andre. Det har vært kjent i matematikk i hundre år, men (relativt) nylig har samfunnsvitenskapene fattet interesse for det. Det hele startet med at rektor ved et av de amerikanske universitetene la merke til at jenter ble akseptert mye mindre enn gutter. Hun ba om rapporter fra dekanene... og det viste seg at på alle fakulteter var forholdet mellom aksepterte og kandidater høyere for jenter enn for gutter - og tvert imot. Jeg anbefaler leseren å omforme eksemplet med Pepsi og Coca-Cola til situasjonen til universitetsavdelinger.

En enda mer subtil situasjon. Alle i den matematiske verden kjenner "Nebraska-eksemplet". Et sted i Nebraska ble en butikk ransaket og et kassaapparat ble ranet. Vitner husket bare at dette ble gjort av et merkelig par: en mørkhudet mann med skjegg og en kvinne med orientalske trekk. De dro (dekkene skriker som i filmen) i en gul Toyota. Noen timer senere arresterte politiet ... en gul Toyota, der det var en afroamerikaner med skjegg, ledsaget av en asiatisk kvinne. "Det er deg!". Håndjern, domstol. En erfaren matematiker regnet ut at et slikt sett (negro + asiatisk + gul Toyota) er så unikt at 99,999 % av ranerne er etterlyst. Han kastet memorerte termer i salen: elementære hendelser, Bernoulli-diagram, konjunksjon. Paret gikk for å sitte. Imidlertid ansatte de den beste matematikeren, som sa i en appell: «Bra. Døm selv, min forgjenger regnet ut at sannsynligheten for at en tilfeldig påtruffet bil med to passasjerer vil være en gul Toyota med en svart og en japansk kvinne er sånn og sånn. Men her må vi løse et annet problem, den betingede sannsynligheten. Hva er sannsynligheten for å møte et annet par (eller tre, hvis du slår på maskinen), hvis vi vet at et slikt allerede eksisterer. »

Vi vet ikke om dommeren forsto noen av argumentene. Kanskje bare at svaret avhenger av valget av situasjonen. Det var nok. Han opphevet dommen.

Et slag i hodet med en stang. Vi har alltid behandlet slik demagogi (1).

Barer er forferdelige: Kullprisene har doblet seg. Å se på tallene er betryggende: de har faktisk steget fra PLN 161 per tonn til PLN 169 (øvelse: med hvilken prosentandel?). Men siden de fleste lærer visuelt, vil de huske grafen, ikke tallene. Uten å gå inn i politiske diskusjoner må jeg si at en lignende metode ble brukt av regjeringen (den fra sommeren 2020), og forestiller seg en økning i utgiftene til kreft. Dette er ikke en kritikk av denne regjeringen. Den neste vil også bruke denne metoden. Det er trygt og gir umiddelbar effekt ("sett").

La oss bruke masker. Lovene for spredning av epidemier er enkle og «i seg selv» ubønnhørlige. Antallet smittede vokser raskere, jo flere av dem allerede er. Slik går skredet. Det er det matematikken sier. Det er imidlertid et stort "men" - kanskje mer enn ett. For det første er det slik, mens "ingenting skjer". Når skredet i skogen stoppes, når epidemien bremses av vår alles kloke oppførsel, så vil vi ikke så mye "takke" matematikken som skaper en annen modell. Ja, en annen matematisk modell (som i eksemplet med Nebraska-butikkran). Matematikk, en vakker vitenskap, hjelper bare til å forstå verden. Så mange, men bare så mange. La oss se: vi hopper nesten seks meter med en stang, uten den kan vi ikke engang hoppe 2,50. Ta så staven i hånden og hopp. Han er en helvetes plage, er han ikke?

bruk av matematikk i samfunnsfag det er vanskelig, farlig og enda verre, fristende. Kjennere fra Tatra forbinder det med Drege-ravinen: en mild, gresskledd nedstigning fra Granater til Chyorny Stav ... Slik ser det ut ovenfra. Snart forvandles ravinen til en felle som bare TOPR, Tatra Volunteer Rescue Service, kan redde oss fra.

Matematikere kaller denne økningen i snøskred og epidemier eksponentiell vekst. Som jeg allerede skrev, kan denne veksten undertrykkes, men ikke igjen. La oss imidlertid se på to plott av samme kurve (bare på en annen skala). Hvem vil forstå, jeg gir formelen for denne funksjonen: y = 2^xto til makten. Vennligst se på diagrammene. Fra hvilket punkt skjer den raske akselerasjonen av veksten? Alle vil indikere: det er mer eller mindre nær punktet merket med en stor prikk. Men på den første grafen er denne verdien nær 1,5, på den andre er den mer enn 3, og på den tredje er den 4,5. Hvis det blir en slags gatedemonstrasjoner da, så kan vi si: vær så snill, fra demonstrasjonsøyeblikket gikk kurven opp, gikk kraftig opp. I matematikkens ære! Og dette er bare en egenskap ved den eksponentielle kurven. Den tilsvarende skalaen og punktet som rask akselerasjon starter fra kan velges fritt (2).

Presidentvalg ... i USA, selvfølgelig. Vi husker fortsatt farsen i november 2020. Landet, som fortsatt er makt nr. 1, har ikke taklet sidetellingen. Det viste det seg til slutt Joe Biden ikke bare vant han flere valgmannsstemmer, men han ville ha vunnet dersom avgjørelsen hadde blitt tatt med simpelt flertall. I situasjonen som jeg skal beskrive, er det ingen matematisk manipulasjon – bare et eksempel på hvordan resultatet av valget kan avhenge av vedtatt vedtak. Hvis du vet, er det vanskelig å protestere. En forsvarsspiller i fotball kan anse håndballforbudet som feil, men om det ignoreres, vil det bli dømt straffe.

Tenk deg at følgende stiller opp for presidentskapet i Hellas: Apollonius, Euklid, hegre, Pythagoras i slik. Den velgerne velger blir president. Det er 100. De ble valgt ved folkeavstemning, og deretter bestemte partiene som var representert i parlamentet, det vil si Circus Maximus, rekkefølgen på deres preferanser. Noe er galt fordi Circus Maximus er et latinsk navn, ikke et gresk. Men la oss ikke krangle med kildene.

Hvem blir president? La oss se hvordan det avhenger av ordinasjon. Partiets preferanser bør forstås slik at dets velgere stemmer på den første personen fra listen som gjenstår i valget etter neste runde.

1. Hvis kjennelsen bestemmer at den kandidaten som setter flest velgere på førsteplass vinner, vinner Pythagoras, fordi han blir valgt av 25 + 9 = 34 velgere. Dette er det som skjer på skolen når vi velger for eksempel den beste eleven. I vårt sted: Pythagoras er valgt av folket!
2. I moderne presidentvalg brukes den andre runde-systemet oftest. Vi stemmer på én kandidat, men dersom ingen av dem overstiger 50 prosent, avholdes en andre runde. Vinneren er den som får absolutt flertall av stemmene, det vil si rett og slett flere stemmer enn motstanderen. I dette scenariet går Pythagoras (34 stemmer) og Thales (20) til andre runde. I andre runde fordeler velgerne sine stemmer etter sine preferanser. Alle bortsett fra pytagoreerne foretrekker Thales fremfor Pythagoras. Dette er en vanlig situasjon der et parti har en tøff velgermasse og er omgitt av generell motvilje. Så i tillegg får Pythagoras ikke en eneste stemme. Resultat 66:34 i favør av Thales og en avgjørende seier. En lignende situasjon skjedde i 2001 i Slovakia, hvor en kandidat som klart vant første runde tapte i den andre. Det var tilsvarende i presidentvalget i Polen i 2005: lederen ble beseiret i den andre etter første runde. Lenge leve presidenthistoriene!
3. I sykling brukes det såkalte australske systemet. Etter hver runde på banen blir den siste eliminert. Denne versjonen av valgloven kalles "valg av styremedlemmer". Under dette systemet ble den første presidenten i det uavhengige Polen, Gabriel Narutowicz, valgt. Hvordan ville det se ut i vårt Hellas?

Saken er mer komplisert. Vennligst spor. I første runde fikk Euklid færrest stemmer og droppet ut (så synd, så god matematiker!). Partiet stemmer deretter i andre runde for den andre på listen: Tsaplya. I andre runde har Heron 19 + 10 = 29 stemmer. Apollonius er eliminert (17 stemmer). Party, og stem så på Heron. I tredje runde har Pythagoras (faste velgere) 34 stemmer, Thales 20 og Heron 29 + 17 = 46 stemmer. Historiene er ute. Faleserne (Part B) liker heller ikke pytagoreerne - de foretrekker herolder. Andre også, bortsett fra stallpartiene A og E. I siste sving beseirer Heron Pythagoras enkelt 66:34. Vivat President Heron!

     4. På Eurovision Song Contest ble det gitt 12 poeng for førsteplassen på listen, 10 for andreplassen, 9 poeng for tredje, og så videre. La oss anta omtrent samme poengsum 6-4-3-2-1. Så det ble tildelt poeng i tre friidrettskamper (tre lag, to spillere i hver konkurranse, i 1958 vant Polen mot USA og Storbritannia!). Resultatene våre blir som følger:

Euklides:       4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz:  2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras:     6+1+1+1+1+6=16.

Grekere, her er din president Euklid!

     5. Leserne tipper at vi bare trenger å telle stemmene slik at det viser seg at Apollonius er best. Apollonius er faktisk best - fordi han er best. Alle taper for Apollonius! Hvorfor?

For hvor mange valgmenn plasserte Apollonius over Heron? La oss regne ut: 25+17+9=51 betyr flertall. Ikke mye, men likevel.

Hvor langt er Apollonius foran Euklid? 20 + 19 + 17 = 56, de fleste.

Hvor mange foretrekker Apollonius fremfor Thales: 19+17+10+9=55>50.

Til slutt foretrekker Apollonius av Pythagoras 20 + 19 + 17 + 10 = 66 valgmenn av 100.

Siden da - det greske folk, i stand til å tenke logisk - siden da, mest av alt, foretrekker Apollonius enhver annen kandidat; det er tross alt han som skal styre oss for neste periode! Kom nærmere, Apollonius, vår valgte president! Du blir vår 44.

Se også: