Koronavirus og matematikkundervisning – Delvis oppdragssamlinger

Viruset som har rammet oss driver en rask utdanningsreform. spesielt på høyere utdanningsnivå. Om dette emnet kan du skrive et lengre essay, det vil helt sikkert være en strøm av doktoravhandlinger om metodikken for fjernundervisning. Fra et visst synspunkt er dette en retur til røttene og til de glemte vanene med selvstudium. Slik var det for eksempel i Kremenets ungdomsskole (i Kremenets, nå i Ukraina, som eksisterte i 1805-31, vegeterte til 1914 og opplevde sin storhetstid i 1922-1939). Elevene studerte der på egenhånd – først etter at de hadde lært, kom lærerne inn med rettelser, siste avklaringer, hjelp på vanskelige steder m.m. e. Da jeg ble student sa de også at vi skulle tilegne oss kunnskap selv, at det bare bestilles og sendes klasser til universitetet. Men den gang var det bare en teori...

Våren 2020 er jeg ikke den eneste som oppdaget at leksjoner (inkludert forelesninger, øvelser osv.) kan gjennomføres svært effektivt eksternt (Google Meet, Microsoft Teams osv.), på bekostning av mye arbeid fra lærerens side og bare et ønske om å «få en utdanning» på den andre siden; men også med litt trøst: Jeg sitter hjemme, i stolen min, og i tradisjonelle forelesninger gjorde studentene også ofte noe annet. Effekten av slik trening kan bli enda bedre enn med det tradisjonelle, som dateres tilbake til middelalderen, klasse-leksjonssystemet. Hva blir igjen av ham når viruset går til helvete? Jeg tror... ganske mye. Men vi får se.

I dag skal jeg snakke om delvis bestilte sett. Det er enkelt. Siden en binær relasjon i et ikke-tomt sett kalles X en partiell ordensrelasjon når det eksisterer

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filosof,

President for det polske vitenskapsakademiet i 1957–1962).

1. Refleksiv, dvs. for hver ∈ er det ",
2. Forbipasserende, dvs. hvis ", og ", deretter ",
3. Semi-asymmetrisk, dvs. ("∧")→ =

En streng er et sett med følgende egenskap: for alle to elementer er dette settet enten "eller y". Antikjede er...

Stopp, stopp! Kan noe av dette forstås? Selvfølgelig er det det. Men har noen av leserne (som vet noe annet) allerede forstått hva som står her?

Jeg tror ikke! Og dette er kanonen for å undervise i matematikk. Også på skolen. Først en anstendig, streng definisjon, og så vil de som ikke sovnet av kjedsomhet definitivt forstå noe. Denne metoden ble pålagt av de "store" lærerne i matematikk. Han må være forsiktig og streng. Det er riktig at det er slik det skal være til slutt. Matematikk må være en eksakt vitenskap (se også: ).

Jeg må innrømme at jeg også underviste i så mange år ved universitetet der jeg jobber etter å ha pensjonert meg fra universitetet i Warszawa. Bare i den var den beryktede bøtta med kaldt vann (la det bli slik: det var behov for en bøtte!). Plutselig ble høy abstraksjon lett og behagelig. Sett oppmerksomhet: lett betyr ikke lett. Den lette bokseren har det også vanskelig.

Jeg smiler til minnene mine. Jeg ble undervist i det grunnleggende i matematikk av daværende dekan ved instituttet, en førsteklasses matematiker som nettopp hadde kommet fra et lengre opphold i USA, som på den tiden var noe ekstraordinært i seg selv. Jeg tror hun var litt snobbet når hun glemte polsk litt. Hun misbrukte det gamle polske «hva», «derfor», «azalea» og laget begrepet: «semi-asymmetrisk forhold». Jeg elsker å bruke den, den er veldig nøyaktig. Jeg liker. Men jeg krever ikke dette av studenter. Dette blir ofte referert til som "lav antisymmetri". Ti vakre.

For lenge siden, fordi det på syttitallet (i forrige århundre) skjedde en stor, gledelig reform av undervisningen i matematikk. Dette falt sammen med begynnelsen av den korte perioden av Eduard Giereks regjeringstid - en viss åpning av landet vårt for verden. "Barn kan også læres høyere matematikk," utbrøt de store lærerne. Et sammendrag av universitetsforelesningen «Fundamentals of Mathematics» ble satt sammen for barn. Dette var en trend ikke bare i Polen, men i hele Europa. Å løse ligningen var ikke nok, hver detalj måtte forklares. For ikke å være ubegrunnet, kan hver av leserne løse ligningssystemet:

men elevene måtte begrunne hvert trinn, vise til relevante utsagn osv. Dette var et klassisk overskudd av form fremfor innhold. Det er lett for meg å kritisere nå. Jeg var også en gang tilhenger av denne tilnærmingen. Det er spennende... for unge mennesker som brenner for matematikk. Dette var selvfølgelig (og, for oppmerksomhetens skyld, jeg).

Men nok digresjon, la oss komme til saken: en forelesning som "teoretisk" var ment for andre på Polytechnic og ville vært tørr som kokosnøttflak hvis ikke for henne. Jeg overdriver litt...

God morgen til deg. Dagens tema er delvis rengjøring. Nei, dette er ikke et snev av uforsiktig rengjøring. Den beste sammenligningen ville være å vurdere hva som er best: tomatsuppe eller kremkake. Svaret er klart: avhengig av hva. Til dessert - informasjonskapsler, og for en næringsrik rett: suppe.

I matematikk har vi å gjøre med tall. De er ordnet: de er større og mindre, men av to forskjellige tall er det ene alltid mindre, noe som betyr at det andre er større. De er ordnet i rekkefølge, som bokstaver i alfabetet. I klassejournalen kan rekkefølgen være som følger: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (de er venner og klassekamerater fra klassen min!). Vi har heller ingen tvil om at Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. Symbolet for "dobbel ulikhet" har betydningen "før".

I min reiseklubb prøver vi å gjøre listene alfabetisk, men ved navn for eksempel Alina Wronska «Warbara Kaczarska», Cesar Bouschitz osv. I offisielle poster ville rekkefølgen være omvendt. Matematikere omtaler alfabetisk rekkefølge som leksikografisk (et leksikon er mer eller mindre som en ordbok). På den annen side er en slik rekkefølge, der vi i et navn bestående av to deler (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) først ser på den andre delen, en antileksikografisk orden for matematikere. Lange titler, men veldig enkelt innhold.

1. Lineær rekkefølge: stasjoner og holdeplasser på Habovka-Zakopane jernbanen fra Podhale, bygget i 1899 (jeg overlater avkodingen av forkortelsene til leseren).

Alle slike bestillinger kalles linjebestillinger. Vi bestiller etter tur: første, andre, tredje. Alt er i orden, fra første punkt til siste. Det gir ikke alltid mening. Vi arrangerer tross alt bøker på biblioteket ikke slik, men i seksjoner. Bare inne på avdelingen ordner vi lineært (vanligvis alfabetisk).

2. Lineær rekkefølge: når vi starter bilmotoren, utfører vi handlinger i en konsistent rekkefølge.

Med større prosjekter, spesielt innen teamarbeid, har vi ikke lenger en lineær rekkefølge. La oss se på Fig. 3. Vi ønsker å bygge et lite hotell. Vi har allerede penger (celle 0). Vi utarbeider tillatelser, samler inn materialer, starter bygging, og driver samtidig en annonsekampanje, ser etter ansatte, og så videre og så videre. Når vi når "10", kan de første gjestene sjekke inn (et eksempel fra historiene til Mr. Dombrowski og deres lille hotell i forstedene til Krakow). Vi har ikke-lineær rekkefølge – Noen ting kan skje parallelt.

I økonomi vil du lære om begrepet den kritiske veien. Dette er settet med handlinger som må utføres sekvensielt (og dette kalles en kjede i matematikk, mer om det på et øyeblikk), og som tar mest tid. Å redusere byggetid er en omlegging av den kritiske veien. Men mer om dette i andre forelesninger (jeg minner om at jeg leser en "universitetsforelesning"). Vi fokuserer på matematikk.

Diagrammer som figur 3 kalles Hasse-diagrammer (Helmut Hasse, tysk matematiker, 1898–1979). Enhver kompleks innsats må planlegges på denne måten. Vi ser handlingssekvenser: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matematikere kaller dem strenger. Hele ideen består av fire kjeder. I motsetning til dette er aktivitetsgruppene 1-2-3-4, 5-6-7 og 8-9 antikjeder. Her er hva de heter. Faktum er at i en bestemt gruppe avhenger ingen av handlingene av den forrige.

4. Dette er også et Hasse-diagram.

la oss gå til figur 4. Hva er imponerende? Men det kan være et metrokart i en eller annen by! Underjordiske jernbaner er alltid gruppert i linjer - de går ikke fra den ene til den andre. Linjer er separate linjer. I byen Fig. 4 er stekeovn linje (husk det stekeovn det skrives "boldem" - på polsk heter det halvtykk).

I dette diagrammet (fig. 4) er det en kort gul ABF, en seks-stasjons ACFPS, en grønn ADGL, en blå DGMRT og den lengste røde. Matematikeren vil si: dette Hasse-diagrammet har stekeovn kjeder. Det er på den røde linjen syv stasjon: AEINRUW. Hva med antikjeder? Der er de syv. Leseren har allerede lagt merke til at jeg har dobbeltstreket ordet syv.

Antikjede dette er et slikt sett med stasjoner at det er umulig å komme seg fra en av dem til en annen uten overføring. Når vi "forstår" litt, vil vi se følgende antikjeder: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Sjekk for eksempel at det ikke er mulig å reise fra noen av BCLTV-stasjonene til en annen BCTLV uten endring, mer presist: uten å måtte gå tilbake til stasjonen vist nedenfor. Hvor mange antikjeder er det? sju. Hvilken størrelse er den største? Bake (igjen med fet skrift).

Dere kan forestille dere, studenter, at sammenfallet av disse tallene ikke er tilfeldig. Dette er. Dette ble oppdaget og bevist (dvs. alltid slik) i 1950 av Robert Palmer Dilworth (1914–1993, amerikansk matematiker). Antall rader som trengs for å dekke hele settet er lik størrelsen på den største antikjeden, og omvendt: antall antikjeder er lik lengden på den lengste antikjeden. Dette er alltid tilfelle i et delvis bestilt sett, d.v.s. en som kan visualiseres. Hassego-diagram. Dette er ikke en ganske streng og korrekt definisjon. Dette er det matematikere kaller en «arbeidsdefinisjon». Dette er noe forskjellig fra "arbeidsdefinisjonen". Dette er et hint om hvordan man forstår delvis ordnede sett. Dette er en viktig del av all trening: se hvordan det fungerer.

Den engelske forkortelsen er - dette ordet høres vakkert ut på slaviske språk, litt som en tistel. Merk at tistelen også er forgrenet.

Veldig hyggelig, men hvem trenger det? Dere, kjære studenter, trenger det for å bestå eksamen, og dette er nok en god nok grunn til å studere den. Jeg lytter, hvilke spørsmål? Jeg lytter, herre fra under vinduet. Å, spørsmålet er, vil dette noen gang være nyttig for Herren i livet ditt? Kanskje ikke, men for noen smartere enn deg, sikkert ... Kanskje for kritisk veianalyse i et komplekst økonomisk prosjekt?

Jeg skriver denne teksten i midten av juni, valget av rektor pågår ved universitetet i Warszawa. Jeg har lest flere kommentarer fra Internett-brukere. Det er overraskende mye hat (eller "hat") mot "utdannede mennesker". Noen skrev rett ut at folk med universitetsutdanning vet mindre enn de med universitetsutdanning. Jeg vil selvsagt ikke gå inn i diskusjonen. Jeg er bare trist over at den etablerte oppfatningen i den polske folkerepublikken vender tilbake om at alt kan gjøres med hammer og meisel. Jeg går tilbake til matematikken.

Dillworths teorem har flere interessante applikasjoner. En av dem er kjent som ekteskapsteoremet.Fig. 6). 

Det er en gruppe kvinner (heller jenter) og en litt større gruppe menn. Hver jente tenker noe sånt som dette: "Jeg kunne giftet meg med denne for en annen, men aldri i mitt liv for en tredje." Og så videre, alle har sine egne preferanser. Vi tegner et diagram, som fører til hver av dem en pil fra fyren som han ikke avviser som en kandidat til alteret. Spørsmål: Kan par matches slik at hver finner en ektemann hun godtar?

Philip Halls teorem, sier at dette kan gjøres - under visse betingelser, som jeg ikke vil diskutere her (da ved neste forelesning, studenter, takk). Merk imidlertid at mannlig tilfredshet ikke er nevnt her i det hele tatt. Som du vet er det kvinner som velger oss, og ikke omvendt, slik det ser ut for oss (jeg minner om at jeg er forfatter, ikke forfatter).

Litt seriøs matematikk. Hvordan følger Halls teorem fra Dilworth? Det er veldig enkelt. La oss se igjen på figur 6. Kjedene der er veldig korte: de har en lengde på 2 (løper i retningen). Et sett med små menn er en anti-kjede (nøyaktig fordi pilene bare er mot). Dermed kan du dekke hele kolleksjonen med like mange anti-kjeder som det finnes menn. Så hver kvinne vil ha en pil. Og det betyr at hun kan virke som fyren hun godtar!!!

Vent, spør noen, er det alt? Er det hele app? Hormoner vil på en eller annen måte komme overens og hvorfor matematikk? For det første er dette ikke hele applikasjonen, men bare en av en stor serie. La oss se på en av dem. La (fig. 6) mene ikke representanter for det bedre kjønn, men heller prosaiske kjøpere, og dette er merker, for eksempel biler, vaskemaskiner, vektreduksjonsprodukter, reisebyråtilbud osv. Hver kjøper har merker som han aksepterer og avviser. Kan noe gjøres for å selge noe til alle og hvordan? Det er her ikke bare vitsene slutter, men også kunnskapen til forfatteren av artikkelen om dette emnet. Alt jeg vet er at analysen er basert på ganske kompleks matematikk.

Å undervise i matematikk på skolen er å undervise i algoritmer. Dette er en viktig del av læringen. Men sakte beveger vi oss mot å lære ikke så mye matematikk som den matematiske metoden. Dagens foredrag handlet nettopp om dette: vi snakker om abstrakte mentale konstruksjoner, vi tenker på hverdagen. Vi snakker om kjeder og antikjeder i sett med inverse, transitive og andre relasjoner som vi bruker i selger-kjøper-modellene. Datamaskinen vil gjøre alle beregningene for oss. Han vil ikke lage matematiske modeller ennå. Vi vinner fortsatt med tankegangen vår. Uansett, forhåpentligvis så lenge som mulig!