Ny maskin matematikk? Elegante mønstre og hjelpeløshet

Ifølge noen eksperter kan maskiner finne opp eller, om du vil, oppdage helt ny matematikk som vi mennesker aldri har sett eller tenkt på. Andre hevder at maskiner ikke finner opp noe på egen hånd, de kan bare representere formlene vi kjenner på en annen måte, og de kan ikke takle noen matematiske problemer i det hele tatt.

Nylig presenterte en gruppe forskere fra Technion Institute i Israel og Google automatisert system for å generere teoremersom de kalte Ramanujan-maskinen etter matematikeren Srinivasi Ramanujanasom utviklet tusenvis av banebrytende formler innen tallteori med liten eller ingen formell utdanning. Systemet utviklet av forskerne gjorde en rekke originale og viktige formler til universelle konstanter som dukker opp i matematikk. En artikkel om dette emnet er publisert i tidsskriftet Nature.

En av de maskingenererte formlene kan brukes til å beregne verdien av en universell konstant kalt katalansk nummer, mer effektiv enn å bruke tidligere kjente formler som er oppdaget av mennesker. Det hevder imidlertid forskere Ramanujans bil det er ikke ment å ta matematikk fra folk, men snarere å tilby hjelp til matematikere. Dette betyr imidlertid ikke at systemet deres er blottet for ambisjoner. Mens de skriver, "forsøker maskinen å etterligne den matematiske intuisjonen til de store matematikerne og å gi hint for ytterligere matematiske oppdrag."

Systemet gjør antagelser om verdiene til universelle konstanter (som) skrevet som elegante formler kalt fortsatte brøker eller fortsatte brøker (1). Dette er navnet på metoden for å uttrykke et reelt tall som en brøk i en spesiell form eller grensen for slike brøker. En fortsatt brøk kan være endelig eller ha uendelig mange kvotienter._i/b_i; brøk A_k/B_k oppnådd ved å forkaste partialfraksjonene i den fortsatte brøken, med start fra (k + 1), kalles kth-redukten og kan beregnes med formlene:_-1= 1, A₀=b₀, B_-1=0,V₀= 1, A_k=b_kA_k-1+a_kA_k-2, B_k=b_kB_k-1+a_kB_k-2; hvis sekvensen av redukter konvergerer til en begrenset grense, kalles den fortsatte brøken konvergent, ellers er den divergent; En fortsatt brøk kalles en aritmetisk hvis_i= 1, s₀ fullført, b_i (i>0) – naturlig; aritmetisk fortsatt brøk konvergerer; hvert reelt tall utvides til en fortsatt aritmetisk brøk, som bare er endelig for rasjonelle tall.

1. Et eksempel på å skrive Pi som en fortsatt brøk

Ramanujan maskinalgoritme velger alle universelle konstanter for venstre side og eventuelle fortsatte brøker for høyre side, og beregner deretter hver side separat med en viss presisjon. Hvis begge sider ser ut til å overlappe, beregnes mengdene med mer presisjon for å sikre at treffet ikke er et treff eller unøyaktighet. Viktigere er det allerede formler som lar deg beregne verdien av universelle konstanter, for eksempel med hvilken som helst presisjon, så den eneste hindringen for å kontrollere sidekonformitet er beregningstiden.

Før de implementerte slike algoritmer, måtte matematikere bruke en eksisterende. matematisk kunnskap i teoremergjøre en slik antagelse. Takket være de automatiske gjetningene generert av algoritmer, kan matematikere bruke dem til å gjenskape skjulte teoremer eller mer "elegante" resultater.

Den mest bemerkelsesverdige oppdagelsen av forskere er ikke så mye ny kunnskap som en ny antagelse av overraskende betydning. Dette tillater beregning av den katalanske konstanten, en universell konstant hvis verdi er nødvendig i mange matematiske problemer. Å uttrykke det som en fortsatt brøkdel i en nyoppdaget antakelse gir mulighet for de raskeste beregningene til dags dato, og beseirer tidligere formler som tok lengre tid å behandle i en datamaskin. Dette ser ut til å markere et nytt fremskritt for informatikk siden da datamaskiner først slo sjakkspillere.

Hva AI ikke kan håndtere

Maskinalgoritmer Som du kan se, gjør de noen ting på en innovativ og effektiv måte. Stilt overfor andre problemer er de hjelpeløse. En gruppe forskere ved University of Waterloo i Canada oppdaget en klasse med problemer med å bruke maskinlæring. Oppdagelsen henger sammen med et paradoks beskrevet i midten av forrige århundre av den østerrikske matematikeren Kurt Gödel.

Matematiker Shai Ben-David og teamet hans presenterte en maskinlæringsmodell kalt maksimal prediksjon (EMX) i en publikasjon i tidsskriftet Nature. Det ser ut til at en enkel oppgave viste seg å være umulig for kunstig intelligens. Problem laget av laget Shay Ben-David kommer ned til å forutsi den mest lønnsomme reklamekampanjen, fokusert på leserne som besøker nettstedet oftest. Antallet muligheter er så stort at det nevrale nettverket ikke er i stand til å finne en funksjon som korrekt vil forutsi oppførselen til brukere av nettstedet, og har bare et lite utvalg av data til rådighet.

Det viste seg at noen av problemene som nevrale nettverk utgjør, er ekvivalente med kontinuumhypotesen stilt av Georg Cantor. Den tyske matematikeren beviste at kardinaliteten til settet med naturlige tall er mindre enn kardinaliteten til settet med reelle tall. Så stilte han et spørsmål som han ikke kunne svare på. Han lurte nemlig på om det finnes et uendelig sett hvis kardinalitet er mindre enn kardinaliteten sett med reelle tallmen mer kraft sett med naturlige tall.

Østerriksk matematiker fra det XNUMX århundre. Kurt Gödel bevist at kontinuumhypotesen er uavgjørlig i dagens matematiske system. Nå viser det seg at matematikere som designer nevrale nettverk har møtt et lignende problem.

Så selv om den er usynlig for oss, som vi ser, er den hjelpeløs i møte med grunnleggende begrensninger. Forskere lurer på om de har problemer av denne klassen, for eksempel uendelige sett.