Hvorfor deler vi ikke på null?
Innhold
Leserne lurer kanskje på hvorfor jeg vier en hel artikkel til en så banal sak? Årsaken er det svimlende antallet studenter (!) som tilfeldig gjennomfører operasjonen under navnet. Og ikke bare studenter. Noen ganger fanger jeg og lærere. Hva vil elevene til slike lærere kunne i matematikk? Den umiddelbare grunnen til å skrive denne teksten var en samtale med en lærer for hvem deling med null ikke var et problem ...
Med null, ja, bortsett fra bryet med ingenting i det hele tatt, fordi vi egentlig ikke trenger å bruke det i hverdagen. Vi går ikke og handler for null egg. «Det er én person i rommet» høres på en eller annen måte naturlig ut, og «null personer» høres kunstig ut. Språkforskere sier at null er utenfor språksystemet.
Vi kan klare oss uten null på bankkontoer også: bare bruk - som på et termometer - rød og blå for positive og negative verdier (merk at for temperatur er det naturlig å bruke rødt for positive tall, og for bankkontoer det er omvendt, fordi debet skal utløse en advarsel, så rødt anbefales på det sterkeste).
Ved å inkludere null som et naturlig tall berører vi problemet med differensiering kardinal tall od husstand. Innen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
kraften til tallet er den samme som tallet på stedet der det står. Ellers er den allerede i sekvensen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….
Antall singleton-sett kommer på andreplass, antall sett med to elementer kommer på tredjeplass, og så videre. Vi må forklare hvorfor vi for eksempel ikke nummererer plassene til utøverne i konkurranser fra bunnen av. Da ville førsteplassvinneren få sølvmedalje (gull gikk til nullplassvinneren), og så videre. En litt lignende prosedyre ble brukt i fotball - jeg vet ikke om leserne vet at "liga en" betyr " følger de beste." ", og nullligaen kalles for å bli "hovedligaen".
Noen ganger hører vi argumentet om at vi må starte fra bunnen av, fordi det er praktisk for IT-folk. Fortsetter disse betraktningene, bør definisjonen av en kilometer endres - den bør være 1024 m, fordi dette er antall byte i en kilobyte (jeg vil referere til en vits kjent for informatikere: "Hva er forskjellen mellom en førsteårsstudent og en student i informatikk og en femteårsstudent ved dette fakultetet? at en kilobyte er 1000 kilobyte, den siste - at en kilometer er 1024 meter")!
Et annet synspunkt, som allerede bør tas på alvor, er dette: vi måler alltid fra bunnen av! Det er nok å se på hvilken som helst skala på linjalen, på husholdningsvekter, til og med på klokken. Siden vi måler fra null, og telling kan forstås som en måling med en dimensjonsløs enhet, så bør vi telle fra null.
Det er en enkel sak, men...
La oss forlate det generelle resonnementet og gå tilbake til divisjon med null. Saken er enkel, og det ville vært enkelt hvis det ikke var for ... så hva? La oss tenke og prøve. Hvor mye kan det være - en delt på null? La oss se: 1/0 = x. Multipliser begge sider med nevneren på venstre side.
Vi får 1=0. Noe er galt! Hva skjedde? Ah gjett! Antakelsen om at det er en kvotient av enhet og null fører til en selvmotsigelse. Og hvis en ikke kan deles på null, så kan et annet tall. Hvis du, leser, trekker på skuldrene og lurer på hvorfor forfatteren (det vil si meg) skriver om slike floskler, så ... er jeg veldig glad!
Formelen 0/0 = 0 kan forsvares på et hardnakket grunnlag, men den motsier regelen om at resultatet av å dele et tall på seg selv er lik en. Absolutt, men ganske forskjellige er slike symboler som 0/0, °/° og lignende i kalkulus. De betyr ikke noe tall, men er symbolske betegnelser for bestemte sekvenser av visse typer.
I en elektroteknikkbok fant jeg en interessant sammenligning: å dele på null er like farlig som høyspentelektrisitet. Dette er normalt: Ohms lov sier at forholdet mellom spenning og motstand er lik strøm: V = U / R. Hvis motstanden var null, ville en teoretisk uendelig strøm flyte gjennom lederen og brenne alle mulige ledere.
Jeg skrev en gang et dikt om farene ved å dele på null for hver dag i uken. Jeg husker at den mest dramatiske dagen var torsdag, men det er synd for alt arbeidet mitt på dette området.
Når du deler noe på null
Veldig tidlig mandag
Uke det som nettopp skjedde
Du har allerede mislyktes totalt.
Når tirsdag ettermiddag
Du setter null i nevneren
Da skal jeg si deg at du tar feil
Dårlig matematiker!
Når gjennom null, gjennom perversjon,
Vil dele på onsdag
Du vil få mye trøbbel
Du har høy og vann i hodet!
En viss Bartek var med oss.
Han var i strid med reglene.
På torsdag er den delelig med null.
Han er ikke lenger mellom oss!
Hvis et merkelig ønske tar tak i deg
Del med null på fredag
Jeg skal være ærlig, jeg skal være ærlig:
Dårlig start på denne helgen.
Når det er null, et sted på lørdag
Skilleveggen blir din (ikke fet skrift)
Knele under kirkegjerdet.
Dette er din oppstandelse.
Vil du ha null under streken,
Lag en ferie på søndag
Ta med kritt, svart tavle.
Skriv: den er ikke delelig med null!
Null er assosiert med tomhet og ingenting. Faktisk kom han til matematikk som en mengde som, når den legges til noen, ikke endrer den: x + 0 = x. Men nå vises null i flere andre verdier, spesielt som skalastart. Hvis det verken er positiv temperatur eller frost utenfor vinduet, så ... er dette null, noe som ikke betyr at det ikke er noen temperatur i det hele tatt. Et nullklassemonument er ikke et som har vært revet over lang tid og rett og slett ikke eksisterer. Tvert imot er det noe sånt som Wawel, Eiffeltårnet og Frihetsgudinnen.
Vel, betydningen av null i et posisjonssystem kan neppe overvurderes. Vet du, leser, hvor mange nuller har Bill Gates på bankkontoen sin? Jeg vet ikke, men jeg vil gjerne ha halvparten. Tilsynelatende la Napoleon Bonaparte merke til at mennesker er som nuller: de får mening gjennom posisjon. I Andrzej Wajdas As the Years, As the Days Pass eksploderer den lidenskapelige artisten Jerzy: «Philister er null, nihil, ingenting, ingenting, nihil, null». Men null kan være bra: «null avvik fra normen» betyr at alt går bra, og fortsett!
La oss gå tilbake til matematikken. Null kan legges til, trekkes fra og multipliseres ustraffet. «Jeg gikk opp null kilo,» sier Manya til Anya. "Og dette er interessant, fordi jeg gikk ned i samme vekt," svarer Anya. Så la oss spise seks null porsjoner iskrem seks ganger, det vil ikke skade oss.
Vi kan ikke dele med null, men vi kan dele med null. En tallerken med null dumplings kan enkelt deles ut til de som venter på mat. Hvor mye vil hver få?
Null er ikke positivt eller negativt. Dette og nummeret ikke-positiveи ikke-negativ. Den tilfredsstiller ulikhetene x≥0 og x≤0. Motsigelsen «noe positivt» er ikke «noe negativt», men «noe negativt eller lik null». Matematikere vil, i strid med språkets regler, alltid si at noe er «lik null» og ikke «null». For å rettferdiggjøre denne praksisen har vi: hvis vi leser formelen x = 0 "x er null", så leser vi x = 1 "x er lik en", som kan svelges, men hva med "x = 1534267"? Du kan heller ikke tilordne en numerisk verdi til tegnet 00heller ikke heve null til en negativ potens. På den annen side kan du rote null etter ønske... og resultatet vil alltid være null.
Eksponentiell funksjon y = ax, den positive basen av a, blir aldri null. Det følger at det ikke er noen nulllogaritme. Faktisk er logaritmen av a til grunntall b eksponenten som basen må heves til for å oppnå logaritmen til a. For a = 0 er det ingen slik indikator, og null kan ikke være basisen til logaritmen. Imidlertid er nullen i "nevneren" til Newtons symbol noe annet. Vi antar at disse konvensjonene ikke fører til en motsetning.
falske bevis
Divisjon med null er et vanlig emne for falske bevis, og det skjer selv med erfarne matematikere. La meg gi deg to av mine favoritteksempler. Den første er algebraisk. Jeg skal "bevise" at alle tall er like. Anta at det er to tall som ikke er like. Derfor er en av dem større enn den andre, la a > b. La oss anta at c er forskjellen deres
c \uXNUMXd a - b. Så vi har a - b = c, derfra a = b + c.
Vi multipliserer begge deler av sistnevnte med a - b:
a2 - ab = ab + ac - b2 - bc.
Jeg oversetter ak til venstre side, selvfølgelig husker jeg at jeg endret tegnet:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Jeg ekskluderer vanlige faktorer:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Jeg deler og jeg har det jeg ønsket:
a = b.
Og faktisk enda merkeligere, fordi jeg antok at a > b, og jeg fikk at a = b. Hvis i eksemplet ovenfor "juks" er lett å gjenkjenne, så er det i det geometriske beviset under ikke så lett. Jeg skal bevise at ... trapesen ikke eksisterer. Figuren som vanligvis kalles en trapes, eksisterer ikke.
Men anta først at det er noe slikt som en trapes (ABCD i figuren nedenfor). Den har to parallelle sider ("baser"). La oss strekke disse basene, som vist på bildet, slik at vi får et parallellogram. Dens diagonaler deler den andre diagonalen av trapesen i segmenter hvis lengder er merket x, y, z, som i figur 1. Fra likheten til de tilsvarende trekantene får vi proporsjonene:
hvor vi definerer:
Oraz
hvor vi definerer:
Trekk fra sidene av likhet merket med asterisker:
Forkorter vi begge sider med x − z, får vi – a/b = 1, som betyr at a + b = 0. Men tallene a, b er lengdene på basene til trapesen. Hvis summen deres er null, er de også null. Dette betyr at en figur som en trapes ikke kan eksistere! Og siden rektangler, romber og firkanter også er trapeser, så, kjære leser, er det heller ingen romber, rektangler og firkanter ...
Gjett Gjett
Å dele informasjon er den mest interessante og utfordrende av de fire grunnleggende aktivitetene. Her møter vi for første gang et fenomen så vanlig i voksen alder: «gjett svaret, og sjekk så om du gjettet riktig». Dette er meget treffende uttrykt av Daniel K. Dennett ("How to Make Mistakes?", i How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warszawa, 1997):
Denne metoden for å "gjette" forstyrrer ikke vårt voksne liv - kanskje fordi vi lærer det tidlig og å gjette er ikke vanskelig. Ideologisk forekommer det samme fenomenet for eksempel ved matematisk (fullstendig) induksjon. På samme sted «gjetter» vi formelen og sjekker så om gjetningen vår er riktig. Elevene spør alltid: «Hvordan kjente vi til mønsteret? Hvordan kan det tas ut?" Når studenter stiller meg dette spørsmålet, gjør jeg spørsmålet deres til en spøk: «Jeg vet dette fordi jeg er en profesjonell, fordi jeg får betalt for å vite det». Elever på skolen kan besvares i samme stil, bare mer seriøst.
En øvelse. Merk at vi starter addisjon og skriftlig multiplikasjon med den laveste enheten, og divisjon med den høyeste enheten.
En kombinasjon av to ideer
Mattelærere har alltid påpekt at det vi kaller voksenseparasjon er foreningen av to konseptuelt forskjellige ideer: bolig i atskillelse.
Den første (bolig) forekommer i oppgaver der arketypen er:
Del opp Dette er oppgaver som:
? (Vi beholder den opprinnelige stilen til dette problemet, hentet fra Julian Zgozalewicz sin håndbok utgitt i Krakow i 1892 - złoty er den rhenske złoty, valutaen som var i omløp i det østerriksk-ungarske riket frem til begynnelsen av det XNUMX. århundre).
Vurder nå to problemer med den eldste læreboka i matematikk på polsk, far Tomasz Clos (1538). Er det en divisjon eller en kupé? Løs det slik skolebarn i det XNUMX. århundre burde:
(Polsk til polsk oversettelse: Det er en quart og fire potter i en tønne. En gryte er fire quarts. Noen kjøpte 20 tønner vin for 50 zł for handel. Toll og avgift (avgift?) vil være 8 zł. Hvor mye skal selge en liter for å tjene 8 zł?)
Sport, fysikk, kongruens
Noen ganger i idrett må man dele noe på null (målforhold). Vel, dommerne takler det på en eller annen måte. Men i abstrakt algebra er de på agendaen. ikke-null mengderhvis kvadrat er null. Det kan til og med forklares enkelt.
Tenk på en funksjon F som assosierer et punkt (y, 0) med et punkt i planet (x, y). Hva er F2, det vil si en dobbel utførelse av F? Nullfunksjon - hvert punkt har et bilde (0,0).
Til slutt, mengder som ikke er null, hvis kvadrat er 0, er nesten daglig brød for fysikere, og tall på formen a + bε, hvor ε ≠ 0, men ε2 = 0, kaller matematikere doble tall. De forekommer i matematisk analyse og i differensialgeometri.
Tross alt er det noe i aritmetikk som har divisjon med null i minst navnet. Den kommer fra sammenfallende. La Z betegne settet med heltall. Å dele mengden Z med p betyr at vi likestiller hvert tall (heltall) med noen andre, nemlig de som deres forskjell er delelig med. Så, når vi har fem typer tall som tilsvarer tallene 0, 1, 2, 3, 4 - de mulige restene når de er delt på 5. Formelen er skrevet slik:
mod når forskjellen er et multiplum.
For = 2 har vi bare to tall: 0 og 1. Å dele heltall i to slike klasser tilsvarer å dele dem i partall og oddetall. La oss erstatte det nå. Forskjellen er alltid delelig med 1 (ethvert heltall er delelig med 1). Er det mulig å ta =0? La oss prøve: når er forskjellen mellom to tall et multiplum av null? Bare når disse to tallene er like. Så det er fornuftig å dele et sett med heltall med null, men det er ikke interessant: ingenting skjer. Det skal imidlertid presiseres at dette ikke er talldeling i den forstand som er kjent fra grunnskolen.
Slike handlinger er rett og slett forbudt, så vel som lang og bred matematikk.
Ris. 2. Identifikasjon av tall ved hjelp av sammenligning
(modus 5 og modus 2)
