Reis inn i matematikkens uvirkelige verden

Jeg skrev denne artikkelen på onsdag, etter en forelesning og praksis ved en høyskole for informatikk. Jeg forsvarer meg mot kritikk av elevene på denne skolen, deres kunnskap, holdning til naturfag, og viktigst av alt: undervisningsferdigheter. Dette... ingen lærer dem.

Hvorfor er jeg så defensiv? Av en enkel grunn - jeg er i en alder da, sannsynligvis, verden rundt oss ennå ikke er forstått. Kanskje jeg lærer dem å sele av og på hester, og ikke kjøre bil? Kanskje jeg lærer dem å skrive med fjærpenn? Selv om jeg har en bedre oppfatning av en person, anser jeg meg selv som "følger", men...

Inntil nylig, på videregående, snakket de om komplekse tall. Og det var denne onsdagen jeg kom hjem, sluttet – nesten ingen av elevene har ennå lært hva det er og hvordan de skal bruke disse tallene. Noen ser på all matematikk som en gås ved en malt dør. Men jeg ble også oppriktig overrasket da de fortalte meg hvordan jeg skulle lære. Enkelt sagt er hver time av en forelesning to timer med lekser: lese en lærebok, lære å løse problemer om et gitt emne, etc. Etter å ha forberedt oss på denne måten, kommer vi til øvelsene, der vi forbedrer alt ... Hyggelig trodde studentene tilsynelatende at det å sitte på forelesningen - som oftest ser ut av vinduet - allerede garanterer innføring av kunnskap i hodet.

Stoppe! Nok av dette. Jeg vil beskrive svaret mitt på et spørsmål som jeg fikk under en time med stipendiater fra Nasjonalt barnefond, en institusjon som støtter talentfulle barn fra hele landet. Spørsmålet (eller snarere forslaget) var:

— Kan du fortelle oss noe om uvirkelige tall?

"Selvfølgelig," svarte jeg. 

Tallenes virkelighet

"En venn er en annen meg, vennskap er forholdet mellom tallene 220 og 284," sa Pythagoras. Poenget her er at summen av divisorene til 220 er 284, og summen av divisorene av 284 er 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Vi legger forresten merke til at den bibelske Jakob ga Esau 220 sauer og værer som et tegn på vennskap (32. Mosebok 14:XNUMX) ).

Et annet interessant sammenfall mellom tallene 220 og 284 er dette: de sytten høyeste primtallene er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, og 59.

Summen deres er 2x220, og summen av kvadratene er 59x284.

Først. Det finnes ikke noe begrep om "reelt tall". Det er som om du etter å ha lest en artikkel om elefanter spør: «Nå skal vi spørre etter ikke-elefanter». Det er hele og ikke-hele, rasjonelle og irrasjonelle, men det er ingen uvirkelige. Nærmere bestemt: tall som ikke er reelle kalles ikke ugyldige. Det er mange typer "tall" i matematikk, og de skiller seg fra hverandre, som - for å ta en zoologisk sammenligning - en elefant og en meitemark.

For det andre vil vi utføre operasjoner som du kanskje allerede vet er forbudt: å trekke ut kvadratrøttene til negative tall. Vel, matematikk vil overvinne slike barrierer. Men gir det mening? I matematikk, som i enhver annen vitenskap, avhenger hvorvidt en teori for alltid kommer inn i kunnskapsdepotet ... av dens anvendelse. Hvis det er ubrukelig, så havner det i søpla, så i noe søppel av kunnskapshistorien. Uten tallene som jeg snakker om på slutten av denne artikkelen, er det umulig å utvikle matematikk. Men la oss starte med noen små ting. Hva er reelle tall, vet du. De fyller talllinjen tett og uten mellomrom. Du vet også hva naturlige tall er: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - alle vil ikke passe inn minne selv den største. De har også et vakkert navn: naturlig. De har så mange interessante egenskaper. Hvordan liker du dette:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

«Det er naturlig å være interessert i de naturlige tallene», sa Karl Lindenholm, og Leopold Kronecker (1823–1891) sa det kortfattet: «Gud skapte de naturlige tallene – alt annet er menneskets verk!» Brøker (kalt rasjonelle tall av matematikere) har også fantastiske egenskaper:

og i likestilling:

du kan, fra venstre side, gni plussene og erstatte dem med multiplikasjonstegn - og likheten vil forbli sann:

Og så videre.

Som du vet, for brøkene a/b, der a og b er heltall, og b ≠ 0, sier de rasjonalt tall. Men bare på polsk kaller de seg det. De snakker engelsk, fransk, tysk og russisk. rasjonalt tall. På engelsk: rasjonelle tall. Irrasjonelle tall det er irrasjonelt, irrasjonelt. Vi snakker også polsk om irrasjonelle teorier, ideer og handlinger - dette er galskap, imaginært, uforklarlig. De sier at kvinner er redde for mus – er ikke det så irrasjonelt?

I gamle tider hadde tall en sjel. Hver betydde noe, hver symboliserte noe, hver reflekterte en partikkel av den harmonien i universet, det vil si på gresk, kosmos. Selve ordet "kosmos" betyr akkurat "orden, orden". De viktigste var seks (det perfekte tallet) og ti, summen av de påfølgende tallene 1+2+3+4, bygd opp av andre tall, hvis symbolikk har overlevd til i dag. Så Pythagoras lærte at tall er begynnelsen og kilden til alt, og bare oppdagelsen irrasjonelle tall vendte den pytagoreiske bevegelsen mot geometri. Vi kjenner begrunnelsen fra skolen som

√2 er et irrasjonelt tall

For anta at det er: og at denne brøken ikke kan reduseres. Spesielt er både p og q oddetall. La oss kvadrat: 2q²=p². Tallet p kan ikke være oddetall, siden p² vil også være det, og venstre side av likheten er et multiplum av 2. Derfor er p partall, dvs. p = 2r, derav p²= 4r². Vi reduserer ligningen 2q²= 4r² med 2. Vi får q²= 2r² og vi ser at q også må være partall, noe vi antok ikke var det. Den resulterende motsigelsen fullfører beviset - denne formelen kan ofte finnes i hver matematisk bok. Dette omstendighetsbeviset er et favoritttriks for sofistene.

Denne uhyrligheten kunne ikke pytagoreerne forstå. Alt skal kunne beskrives med tall, og diagonalen til en firkant, som enhver kan tegne med en pinne over sanden, har ingen, det vil si målbar, lengde. «Troen vår var forgjeves,» synes pytagoreerne å si. Hvordan det? Det er liksom... irrasjonelt. Unionen prøvde å redde seg selv med sekteriske metoder. Alle som tør å avsløre sin eksistens irrasjonelle tall, skulle straffes med døden, og tilsynelatende ble den første dommen fullbyrdet av mesteren selv.

Men «tanken gikk uskadd forbi». Gullalderen har kommet. Grekerne beseiret perserne (Maraton 490, Blokk 479). Demokratiet ble styrket, nye sentra for filosofisk tankegang og nye skoler oppsto. Pytagoreerne slet fortsatt med irrasjonelle tall. Noen forkynte: vi vil ikke forstå dette mysteriet; vi kan bare tenke på og undre oss over Uncharted. De sistnevnte var mer pragmatiske og respekterte ikke mysteriet. På den tiden dukket det opp to mentale konstruksjoner som gjorde det mulig å forstå irrasjonelle tall. Det at vi forstår dem godt nok i dag tilhører Eudoxus (XNUMX. århundre f.Kr.), og det var først på slutten av XNUMX-tallet at den tyske matematikeren Richard Dedekind ga teorien om Eudoxus den rette utviklingen i samsvar med kravene til strenge matematisk logikk.

Masse av figurer eller tortur

Kunne du levd uten tall? Selv om hva livet ville være... Vi måtte gå til butikken for å kjøpe sko med en pinne, som vi tidligere målte lengden på foten. "Jeg vil ha epler, ah, her er det!" – vi ville vise selgere i markedet. "Hvor langt er det fra Modlin til Nowy Dwur Mazowiecki"? "Ganske nær!"

Tall brukes til å måle. Med deres hjelp uttrykker vi også mange andre konsepter. For eksempel viser målestokken på kartet hvor mye arealet av landet har gått ned. En to-til-en skala, eller rett og slett 2, uttrykker det faktum at noe har blitt doblet i størrelse. La oss si matematisk: hver homogenitet tilsvarer et tall - dens skala.

oppgave. Vi laget en xerografisk kopi, og forstørret bildet flere ganger. Så ble det forstørrede fragmentet igjen forstørret b ganger. Hva er den generelle forstørrelsesskalaen? Svar: a × b multiplisert med b. Disse skalaene må multipliseres. Tallet "minus en", -1, tilsvarer én presisjon som er sentrert, dvs. rotert 180 grader. Hvilket tall tilsvarer en 90 graders sving? Det finnes ikke noe slikt nummer. Det er det, det er... eller rettere sagt, det blir snart. Er du klar for moralsk tortur? Ta mot til deg og ta kvadratroten av minus én. Jeg hører på? Hva kan du ikke? Tross alt ba jeg deg være modig. Trekk den ut! Hei, vel, trekk, trekk... Jeg skal hjelpe... Her: -1 Nå som vi har det, la oss prøve å bruke det... Selvfølgelig, nå kan vi trekke ut røttene til alle negative tall, for eksempel.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Uansett hvilken psykisk lidelse det medfører." Dette er hva Girolamo Cardano skrev i 1539, og prøvde å overvinne de mentale vanskene forbundet med - som det snart ble kalt - imaginære mengder. Han vurderte disse...

...oppgave. Del 10 i to deler, hvorav produktet er 40. Jeg husker at han fra forrige episode skrev noe slikt som dette: Absolutt umulig. La oss imidlertid gjøre dette: del 10 i to like deler, hver lik 5. Multipliser dem - det ble 25. Fra de resulterende 25, trekk nå 40, hvis du vil, og du får -15. Se nå: √-15 lagt til og trukket fra 5 gir deg produktet av 40. Dette er tallene 5-√-15 og 5 + √-15. Verifikasjonen av resultatet ble utført av Cardano som følger:

«Uavhengig av hjertesorgen det medfører, multipliser 5 + √-15 med 5-√-15. Vi får 25 - (-15), som er lik 25 + 15. Så produktet er 40 .... Det er veldig vanskelig."

Vel, hvor mye er: (1 + √-1) (1-√-1)? La oss multiplisere. Husk at √-1 × √-1 = -1. Flott. Nå en vanskeligere oppgave: fra a + b√-1 til ab√-1. Hva skjedde? Absolutt, slik: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Hva er interessant med dette? For eksempel det at vi kan faktorisere uttrykk som vi «ikke visste fra før». Den forkortede multiplikasjonsformelen for²-b² Husker du formelen for²+b² det var det ikke, for det kunne ikke være det. I domenet til reelle tall, polynomet²+b² det er uunngåelig. La oss betegne "vår" kvadratrot av "minus én" med bokstaven i.²= -1. Det er et "uvirkelig" primtall. Og det er det som beskriver en 90 graders sving på et fly. Hvorfor? Tross alt,²= -1, og å kombinere en 90-graders rotasjon og en annen 180-graders rotasjon gir en 45-graders rotasjon. Hvilken type rotasjon blir beskrevet? Tydeligvis en XNUMX graders sving. Hva betyr -i? Det er litt mer komplisert:

(-JEG)² = -i × (-i) = + i² = -1

Så -i beskriver også en 90 graders rotasjon, akkurat i motsatt retning av i sin rotasjon. Hvilken er venstre og hvilken er høyre? Du må bestille time. Vi antar at tallet i spesifiserer en rotasjon i retningen som matematikere anser som positiv: mot klokken. Tallet -i beskriver rotasjon i retningen pekerne beveger seg.

Men eksisterer tall som i og -i? Er! Vi har bare vekket dem til live. Jeg hører på? At de bare eksisterer i hodet vårt? Vel, hva kan du forvente? Alle andre tall eksisterer også bare i tankene våre. Vi må se om antallet nyfødte overlever. Mer presist, om designet er logisk og om de vil være nyttige til noe. Vennligst ta mitt ord for det at alt er i orden og at disse nye tallene er virkelig nyttige. Tall som 3+i, 5-7i, mer generelt: a+bi kalles komplekse tall. Jeg viste deg hvordan du kan få dem ved å snurre flyet. De kan legges inn på forskjellige måter: som punkter i et plan, som noen polynomer, som en slags numeriske matriser ... og hver gang er de like: ligningen x² +1=0 det er ikke noe element... hokus pokus er der allerede!!!! La oss glede oss og glede oss!!!

Slutt på tur

Dette avslutter vår første omvisning i landet med falske tall. Av de andre overjordiske tallene vil jeg også nevne de som har et uendelig antall siffer foran, og ikke bak (de kalles 10-adic, for oss er p-adic viktigere, der p er et primtall), for eksempel X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

La oss telle X takk². Fordi? Hva om vi beregner kvadratet av et tall etterfulgt av et uendelig antall sifre? Vel, la oss gjøre det samme. Vi vet at x² = X.

La oss finne et annet slikt tall med et uendelig antall sifre foran som tilfredsstiller ligningen. Hint: kvadratet av et tall som ender på seks ender også på seks. Kvadratet til et tall som slutter på 76 ender også på 76. Kvadratet til et tall som slutter på 376 slutter også på 376. Kvadratet til et tall som slutter på 9376 ender også på 9376. Kvadratet til et tall som slutter på XNUMX på … Det er også tall som er så små at de, ettersom de er positive, forblir mindre enn noe annet positivt tall. De er så små at noen ganger er det nok å kvadrate dem for å få null. Det er tall som ikke tilfredsstiller betingelsen a × b = b × a. Det er også uendelige tall. Hvor mange naturlige tall er det? Uendelig mange? Ja, men hvor mye? Hvordan kan dette uttrykkes som et tall? Svar: det minste av uendelige tall; den er merket med en vakker bokstav: A og supplert med en nullindeks A₀ , alef-null.

Det er også tall som vi ikke vet eksisterer... eller som du kan tro eller vantro som du vil. Og apropos lignende: Jeg håper du fortsatt liker Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.