Artikkel om ingenting

Som barn ble jeg fascinert av historien, sikkert kjent for mange lesere, om «suppe på en spiker». Min bestemor (XNUMXst århundre av fødsel) fortalte meg dette i versjonen "Kosaken kom og ba om vann, fordi han har en spiker og han vil koke suppe på den." Den nysgjerrige vertinnen ga ham en gryte med vann ... og vi vet hva som skjedde videre: "suppen skal være salt, daitye, bestemor, salt", så vasket han kjøttet "for å forbedre smaken" og så videre. Til slutt kastet han den «kokte» spikeren.

Så denne artikkelen skulle handlet om rommets tomhet – og dette handler om landingen av et europeisk apparat på kometen 67P / Churyumov-Gerasimenko 12. november 2014. Men mens jeg skrev, ga jeg etter for en langvarig vane, Jeg er fortsatt matematiker. Hvordan er det med Somс Null matematikk?

Hvordan eksisterer ingenting?

Det kan ikke sies at ingenting eksisterer. Det eksisterer i det minste som et filosofisk, matematisk, religiøst og perfekt dagligdags konsept. Null er et vanlig tall, null grader på et termometer er også en temperatur, og en nullbalanse i en bank er en ubehagelig, men vanlig hendelse. Merk at det ikke er et nullår i kronologien, og dette er fordi null ble introdusert i matematikk først i senmiddelalderen, senere enn kronologien foreslått av munken Dionysius (XNUMXth århundre).

Merkelig nok kunne vi virkelig klart oss uten denne nullen og derfor uten negative tall. I en av lærebøkene om logikk fant jeg en øvelse: tegne eller si hvordan du forestiller deg fraværet av fisk. Utrolig, ikke sant? Alle kan tegne en fisk, men ikke en?

Nå kort grunnleggende matematikkkurs. Å gi eksistensprivilegiet til det tomme settet merket med en utkrysset sirkel ∅ er en nødvendig prosedyre analogt med å legge til null til settet med tall. Det tomme settet er det eneste settet som ikke inneholder noen elementer. Slike samlinger:

Men det er ikke to forskjellige tomme sett. Det tomme settet er inkludert i hvert annet sett:

Faktisk sier reglene for matematisk logikk at sett A er inneholdt i sett B hvis og bare hvis setningen:

det innebærer

I tilfellet med den tomme mengden ∅ er påstanden alltid usann, og derfor er implikasjonen i henhold til logikkens lover generelt sann. Alt stammer fra en løgn ("her skal jeg dyrke en kaktus hvis du flytter til neste klasse ..."). Så siden det tomme settet er inneholdt i hver av de andre, så hvis de var to forskjellige, ville hver av dem være inneholdt i den andre. Imidlertid, hvis to sett er inneholdt i hverandre, er de like. Det er derfor: det er bare ett tomt sett!

Postulatet om eksistensen av et tomt sett motsier ikke noen matematiske lover, så hvorfor ikke sette det i praksis? Det filosofiske prinsippet kaltOccams barberhøvel» En ordre om å utelukke unødvendige konsepter, men akkurat passe konseptet med et tomt sett er veldig nyttig i matematikk. Merk at det tomme settet har en dimensjon på -1 (minus én) - nulldimensjonale elementer er punkter og deres sparsomme systemer, endimensjonale elementer er linjer, og vi snakket om svært komplekse matematiske elementer med fraktal dimensjon i kapittelet om fraktaler .

Det er interessant at hele bygningen av matematikk: tall, tall, funksjoner, operatorer, integraler, differensialer, ligninger ... kan utledes fra ett konsept - et tomt sett! Det er nok å anta at det er et tomt sett, de nyopprettede elementene kan kombineres til sett for å kunne bygge all matematikken. Slik konstruerte den tyske logikeren Gottlob Frege de naturlige tallene. Null er en klasse av sett hvis elementer er i gjensidig samsvar med elementene i det tomme settet. Den ene er en klasse av sett hvis elementer er i gjensidig korrespondanse med elementene i et sett hvis eneste element er det tomme settet. To er en klasse av sett hvis elementer er en-til-en med elementene i settet som består av det tomme settet og settet hvis eneste element er det tomme settet... og så videre. Ved første øyekast ser dette ut til å være noe veldig komplisert, men det er det faktisk ikke.

Blått spredte seg over meg

luktet lyng og luktet mynte...

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Det er vanskelig å forestille seg

Ingenting er vanskelig å forestille seg. I Stanisław Lems historie "Hvordan verden ble reddet" bygde designeren Trurl en maskin som ville gjøre alt som begynte med en bokstav. Da Klapaucius beordret at den skulle bygges Nic, begynte maskinen å fjerne forskjellige gjenstander fra verden - med det endelige målet å fjerne alt. Da den skremte Klapaucius stoppet bilen, hadde bysser, barlind, henger, rim, rim, visker, puffer, kverner, spyd, philidron og frost forsvunnet fra verden for alltid. Og faktisk forsvant de for alltid ...

Józef Tischner skrev veldig bra om ingenting i sin History of Mountain Philosophy. Under min siste ferie bestemte jeg meg for å oppleve denne intetheten, nemlig jeg dro til torvmyrene mellom Nowy Targ og Jabłonka i Podhale. Dette området kalles til og med Pustachia. Du går, du går, men veien blir ikke mindre – selvfølgelig i vår beskjedne, polske skala. En dag tok jeg buss i den kanadiske provinsen Saskatchewan. Utenfor var en kornåker. Jeg tok en lur i en halvtime. Da jeg våknet, kjørte vi gjennom den samme kornåkeren... Men vent, er dette tomt? På en måte er fraværet av endring bare tomhet.

Vi er vant til konstant tilstedeværelse av ulike gjenstander rundt oss, og fra Noe du kan ikke stikke av selv med lukkede øyne. "Jeg tenker, derfor er jeg," sa Descartes. Hvis jeg allerede har tenkt noe, så eksisterer jeg, noe som betyr at det i det minste er noe i verden (nemlig jeg). Finnes det jeg trodde? Dette kan diskuteres, men i moderne kvantemekanikk er Heisenberg-prinsippet kjent: hver observasjon forstyrrer tilstanden til det observerte objektet. Helt til vi ser det Nic det eksisterer ikke, og når vi begynner å lete, slutter objektet å være Som og det blir Noe. Det begynner å bli absurd antropisk prinsipp: Det er ingen vits i å spørre hvordan verden ville vært hvis vi ikke fantes. Verden er slik den ser ut for oss. Kanskje andre vesener vil se jorden som kantete?

Et positron (et slikt positivt elektron) er et hull i rommet, "det er ikke noe elektron." I prosessen med tilintetgjørelse, hopper elektronet inn i dette hullet og "ingenting skjer" - det er ikke noe hull, ikke noe elektron. Jeg vil hoppe over mange vitser om hull i sveitsisk ost ("jo mer jeg har, jo mindre er det ..."). Den kjente komponisten John Cage hadde allerede brukt ideene sine i en slik grad at han komponerte (?) et musikkstykke (?) der orkesteret sitter urørlig i 4 minutter og 33 sekunder og selvfølgelig ikke spiller noe. "Fire minutter og trettitre sekunder er to hundre og syttitre, 273 og minus 273 grader er absolutt null, der all bevegelse stopper," forklarte komponisten (?).

Filtrer til null, ingenting, nick, nick, ingenting, null!

Jerzy i Andrzej Wajdas film Over the Years,

dagene går"

Hva med alle?

Mange mennesker (fra enkle bønder til fremtredende filosofer) lurte på fenomenet eksistens. I matematikk er situasjonen enkel: det er noe som er konsistent.

Hun forsvant inn i de marginale feltene

I kornblomster, ugress og løvemunn ...

Vel, ting som dette skjer

Spesielt i innhøstingen, og under innhøstingen

særlig…

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Alt er i den andre ytterligheten av ingenting. I matematikk vet vi det Alt finnes ikke. Bare en altfor unøyaktig forestilling om at hans eksistens ville være fri for kontroverser. Dette kan forstås av eksemplet med det gamle paradokset: "Hvis Gud er allmektig, skap da en stein å plukke opp?" Det matematiske beviset på at det ikke kan være sett av alle mengder er basert på teoremet sanger-Bershtein, som sier at "et uendelig antall" (matematisk: kardinaltall) settet med alle medlemmer av et gitt sett er større enn antallet elementer i dette settet.

Hvis et sett har elementer, har det 2ⁿ undergrupper; for eksempel, når = 3 og settet består av {1, 2, 3}, eksisterer følgende delsett:

• tre to-elementsett: hver av dem mangler ett av tallene 1, 2, 3,
• ett tomt sett,
• tre ett-elementsett,
• hele settet {1,2,3}

– bare åtte, 2³Og lesere som nylig har uteksaminert seg fra skolen, vil jeg huske den tilsvarende formelen:

Hvert av de newtonske symbolene i denne formelen bestemmer antall k-elementsett i -elementsettet.

I matematikk vises binomiale koeffisienter mange andre steder, for eksempel i interessante formler for redusert multiplikasjon:

og fra deres eksakte form er deres gjensidige avhengighet mye mer interessant.

Det er vanskelig å forstå hva - når det gjelder logikk og matematikk - er, og hva Alt ikke er. Argumenter for ikke-eksistens Akkurat det samme som Winnie the Pooh, som høflig spurte sin gjest, Tiger, liker Tigers i det hele tatt honning, eikenøtter og tistler? "Tigre liker alt," svarte den som Kubus konkluderte med at hvis de liker alt, så liker de også å sove på gulvet, derfor kan han, Vinnie, gå tilbake til sengen.

Et annet argument Russells paradoks. Det er en barberer i byen som barberer alle mennene som ikke barberer seg. Barberer han seg selv? Begge svarene motsier vilkåret som er fremsatt om at de, og bare de, som ikke gjør det selv, blir slaktet.

Ser etter en samling av alle samlinger

Avslutningsvis vil jeg gi et smart, men mest matematisk bevis på at det ikke finnes et sett med alle sett (ikke å forveksle med det).

Først vil vi vise at for ethvert ikke-tomt sett X, er det umulig å finne en gjensidig unik funksjon som tilordner dette settet til settet av dets undersett P(X). Så la oss anta at denne funksjonen eksisterer. La oss betegne det med den tradisjonelle f. Hva er f fra x? Dette er en samling. Tilhører xf x? Dette er ukjent. Enten må du eller så må du ikke. Men for noen x må det fortsatt være slik at det ikke hører til f av x. Vel, så tenk på settet av alle x som x ikke tilhører f(x). Betegn det (dette settet) med A. Det tilsvarer et element a i mengden X. Tilhører a A? La oss anta at du burde. Men A er et sett som bare inneholder de elementene av x som ikke tilhører f(x) ... Vel, det tilhører kanskje ikke A? Men settet A inneholder alle elementene i denne egenskapen, og dermed også A. Slutt på beviset.

Derfor, hvis det var et sett av alle sett, ville det i seg selv være en delmengde av seg selv, noe som er umulig i henhold til det forrige resonnementet.

Puh, jeg tror ikke mange lesere har sett dette beviset. Jeg tok det heller opp for å vise hva matematikere måtte gjøre på slutten av det nittende århundre, da de begynte å studere grunnlaget for sin egen vitenskap. Det viste seg at problemene ligger der ingen forventet dem. Dessuten, for hele matematikken, spiller disse resonnementene om basene ingen rolle: uansett hva som skjer i kjellerne – hele bygningen av matematikk står på en solid stein.

I mellomtiden, på toppen...

Vi noterer oss enda en moral fra historiene til Stanislav Lem. På en av sine reiser nådde Iyon Tichi en planet hvis innbyggere, etter en lang utvikling, endelig nådde det høyeste utviklingsstadiet. De er alle sterke, de kan gjøre hva som helst, de har alt for hånden ... og de gjør ingenting. De legger seg på sanden og heller den mellom fingrene. "Hvis alt er mulig, er det ikke verdt det," forklarer de til den sjokkerte Ijon. Måtte dette ikke skje med vår europeiske sivilisasjon...