SÅ TIL HVEM, altså: PRØV HVOR DU KAN - del 2

I forrige episode tok vi for oss Sudoku, et regnespill der tall i utgangspunktet er ordnet i ulike diagrammer etter bestemte regler. Den vanligste varianten er et 9×9 sjakkbrett, i tillegg delt inn i ni 3×3 celler. Tallene fra 1 til 9 må settes på den slik at de ikke gjentar seg verken i en vertikal rad (matematikere sier: i en kolonne) eller i en horisontal rad (matematikere sier: på rad) - og dessuten slik at de gjentar seg ikke. gjenta innenfor en mindre firkant.

Na Fig. 1 vi ser dette puslespillet i en enklere versjon, som er et kvadrat på 6 × 6 delt inn i rektangler på 2 × 3. Vi setter inn tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6 - slik at de ikke gjentar seg vertikalt, heller ikke horisontalt, og heller ikke i hver av de valgte sekskantene.

La oss prøve vist i den øverste firkanten. Kan du fylle det ut med tall fra 1 til 6 i henhold til reglene for dette spillet? Det er mulig – men tvetydig. La oss se - tegn en firkant til venstre eller en firkant til høyre.

Vi kan si at dette ikke er grunnlaget for puslespillet. Vi antar vanligvis at et puslespill har én løsning. Oppgaven med å finne forskjellige baser for den "store" Sudokuen, 9x9, er en vanskelig oppgave og det er ingen sjanse for å løse den fullstendig.

En annen viktig sammenheng er det motstridende systemet. Den nederste midterste ruten (den med tallet 2 i nedre høyre hjørne) kan ikke fullføres. Hvorfor?

Moro og retreater

Vi spiller videre. La oss bruke barnas intuisjon. De mener at underholdning er en introduksjon til læring. La oss gå ut i verdensrommet. skrudd på Fig. 2 alle ser rutenettet tetraederfra baller, for eksempel pingpongballer? Husk geometritimer på skolen. Fargene på venstre side av bildet forklarer hva den limes til ved montering av blokken. Spesielt vil tre hjørne (røde) baller limes til en. Derfor må de være like mange. Kanskje 9. Hvorfor? Og hvorfor ikke?

Å, jeg formulerte det ikke oppgaver. Det høres omtrent slik ut: er det mulig å skrive inn tallene fra 0 til 9 i det synlige rutenettet slik at hver side inneholder alle tallene? Oppgaven er ikke vanskelig, men hvor mye du trenger å forestille deg! Jeg vil ikke ødelegge lesernes glede og vil ikke gi en løsning.

Dette er en veldig vakker og undervurdert form. vanlig oktaeder, bygget av to pyramider (=pyramider) med kvadratisk base. Som navnet antyder, har oktaederet åtte ansikter.

Det er seks hjørner i et oktaeder. Det motsier cubesom har seks ansikter og åtte hjørner. Kantene på begge klumpene er de samme - tolv hver. Dette doble faste stoffer - dette betyr at ved å koble sammen sentrene til kubens flater får vi et oktaeder, og sentrene til oktaederets flater vil gi oss en terning. Begge disse støtene presterer ("fordi de må") Euler formel: Summen av antall hjørner og antall flater er 2 flere enn antall kanter.

3. Et vanlig oktaeder i parallell projeksjon og et oktaedergitter sammensatt av kuler på en slik måte at hver kant har fire kuler.

Oppgave 1. Skriv først ned den siste setningen i forrige avsnitt ved å bruke en matematisk formel. På Fig. 3 du ser et oktaedrisk rutenett, også bygd opp av kuler. Hver kant har fire kuler. Hvert ansikt er en trekant med ti kuler. Problemet er satt uavhengig: er det mulig å sette tall fra 0 til 9 i sirklene til rutenettet slik at hver vegg inneholder alle tallene etter liming av en solid kropp (det følger det uten repetisjon). Som før er den største vanskeligheten i denne oppgaven hvordan nettet forvandles til en solid kropp. Jeg kan ikke forklare det skriftlig, så jeg gir heller ikke løsningen her.

4. To ikosaeder fra pingpongballer. Legg merke til det forskjellige fargevalget.

allerede Plato (og han levde i det XNUMX.-XNUMX. århundre f.Kr.) kjente alle de vanlige polyedre: tetraeder, terning, oktaeder, dodekaeder i icosahedron. Det er utrolig hvordan han kom dit - ingen blyant, ingen papir, ingen penn, ingen bøker, ingen smarttelefon, ingen internett! Jeg skal ikke snakke om dodekaederet her. Men icosahedral sudoku er interessant. Vi ser denne klumpen på illustrasjon 4og dets nettverk fig. 5.

5. Vanlig mesh av icosahedron.

Som før er ikke dette et rutenett i den forstand vi husker (?!) fra skolen, men en måte å lime trekanter fra kuler (kuler).

Oppgave 2. Hvor mange kuler skal til for å bygge et slikt ikosaeder? Forblir følgende resonnement riktig: siden hvert ansikt er en trekant, hvis det skal være 20 flater, så trengs så mange som 60 kuler?

6. Rutenett av et ikosaeder fra kuler. Hver sirkel er for eksempel en pingpongball, men konstruksjonen av sirkler på sirkler merket med samme farge smelter sammen til en. Så vi har tolv kuler (= tolv hjørner: rød, blå, lilla, blå og åtte gul).

Det er lett å se at tre tall i ikosaederet ikke er nok. Mer presist: det er umulig å telle opp hjørner med tallene 1, 2, 3 slik at hvert (trekant) ansikt har disse tre tallene og det er ingen repetisjoner. Er det mulig med fire tall? Ja det er mulig! La oss se på Ris. 6 og 7.

7. Her er hvordan du nummererer kulene som utgjør ikosaederet slik at hvert ansikt inneholder andre tall enn 1, 2, 3, 4. Hvilken av kroppene i fig. 4 er farget slik?

Oppgave 3. Tre av de fire tallene kan velges på fire måter: 123, 124, 134, 234. Finn fem slike trekanter i ikosaederet i fig. 7 (samt fra illustrasjoner en).

Oppgave 4 (krever veldig god romlig fantasi). Ikosaederet har tolv hjørner, noe som betyr at det kan limes sammen fra tolv kuler (Fig. 7). Merk at det er tre hjørner (=kuler) merket med 1, tre med 2, og så videre. Dermed danner kuler av samme farge en trekant. Hva er denne trekanten? Kanskje likesidet? Se igjen illustrasjoner en.

Neste oppgave for bestefar/bestemor og barnebarn/barnebarn. Foreldre kan endelig prøve seg også, men de trenger tålmodighet og tid.

Oppgave 5. Kjøp tolv (helst 24) pingpongballer, noen fire farger maling, en pensel og riktig lim - jeg anbefaler ikke raske som Superlim eller Droplet fordi de tørker for raskt og er farlige for barn. Lim på icosahedron. Kle barnebarnet ditt i en t-skjorte som skal vaskes (eller kastes) umiddelbart etterpå. Dekk bordet med folie (gjerne med aviser). Farg icosahedronen forsiktig med fire farger 1, 2, 3, 4, som vist i fig. Fig. 7. Du kan endre rekkefølgen - først fargelegg ballongene og lim dem deretter. Samtidig må bittesmå sirkler stå umalt slik at malingen ikke fester seg til malingen.

Nå den vanskeligste oppgaven (mer presist, hele sekvensen deres).

Oppgave 6 (Mer spesifikt det generelle temaet). Plott ikosaederet som et tetraeder og et oktaeder på Ris. 2 og 3 Det betyr at det skal være fire kuler på hver kant. I denne varianten er oppgaven både tidkrevende og til og med kostbar. La oss starte med å finne ut hvor mange baller du trenger. Hvert ansikt har ti kuler, så icosahedron trenger to hundre? Nei! Vi må huske at mange baller deles. Hvor mange kanter har et ikosaeder? Det kan beregnes møysommelig, men hva er Euler-formelen for?

w–k+s=2

hvor w, k, s er antall henholdsvis topper, kanter og flater. Vi husker at w = 12, s = 20, som betyr k = 30. Vi har 30 kanter av ikosaederet. Du kan gjøre det annerledes, for hvis det er 20 trekanter, så har de bare 60 kanter, men to av dem er vanlige.

La oss beregne hvor mange baller du trenger. I hver trekant er det bare en indre ball - verken på toppen av kroppen vår, eller på kanten. Dermed har vi totalt 20 slike baller. Det er 12 topper. Hver kant har to ikke-vertex baller (de er innenfor kanten, men ikke inne i ansiktet). Siden det er 30 kanter, er det 60 klinkekuler, men to av dem er delt, noe som betyr at du bare trenger 30 kuler, så du trenger totalt 20 + 12 + 30 = 62 kuler. Baller kan kjøpes for minst 50 øre (vanligvis dyrere). Hvis du legger til kostnaden for lim, vil det komme ut ... mye. God liming krever flere timers møysommelig arbeid. Sammen passer de for et avslappende tidsfordriv – jeg anbefaler dem i stedet for for eksempel å se på TV.

Retreat 1. I Andrzej Wajdas filmserie Years, Days spiller to menn sjakk «fordi de på en eller annen måte må fordrive tiden frem til middag». Det finner sted i galisiske Krakow. Faktisk: aviser er allerede lest (da hadde de 4 sider), TV og telefon er ennå ikke oppfunnet, det er ingen fotballkamper. Kjedsomhet i vannpyttene. I en slik situasjon fant folk på underholdning for seg selv. I dag har vi dem etter å ha trykket på fjernkontrollen ...

Retreat 2. På møtet i Association of Teachers of Mathematics i 2019 demonstrerte en spansk professor et dataprogram som kan male solide vegger i alle farger. Det var litt skummelt, for de tegnet bare hendene, skar nesten av kroppen. Jeg tenkte for meg selv: hvor mye moro kan du få av en slik "skyggelegging"? Alt tar to minutter, og i det fjerde husker vi ingenting. I mellomtiden beroliger og utdanner gammeldags "håndarbeid". Den som ikke tror, ​​la ham prøve.

La oss gå tilbake til det XNUMX. århundre og til vår virkelighet. Hvis vi ikke vil ha avslapning i form av møysommelig liming av baller, vil vi tegne minst et rutenett av et icosahedron, hvis kanter har fire baller. Hvordan gjøre det? Hakk den riktig fig. 6. Den oppmerksomme leseren gjetter allerede problemet:

Oppgave 7. Er det mulig å telle opp ballene med tall fra 0 til 9 slik at alle disse tallene vises på hver side av et slikt ikosaeder?

Hva blir vi betalt for?

I dag stiller vi oss ofte spørsmålet om formålet med våre aktiviteter, og den "grå skattebetaleren" vil spørre hvorfor han skal betale matematikere for å løse slike gåter?

Svaret er ganske enkelt. Slike "gåter", interessante i seg selv, er "et fragment av noe mer alvorlig." Tross alt er militærparader bare en ekstern, spektakulær del av en vanskelig tjeneste. Jeg skal bare gi ett eksempel, men jeg starter med et merkelig, men internasjonalt anerkjent matematisk emne. I 1852 spurte en engelsk student professoren sin om det var mulig å fargelegge et kart med fire farger slik at nabolandene alltid vises i forskjellige farger? La meg legge til at vi ikke vurderer "naboer" som møtes på bare ett punkt, slik som statene Wyoming og Utah i USA. Professoren visste ikke... og problemet hadde ventet på en løsning i over hundre år.

8. Icosahedron fra RECO-blokker. Blitsreflektorer viser hva ikosaederet har til felles med trekanten og femkanten. Fem trekanter konvergerer ved hvert toppunkt.

Det skjedde på en uventet måte. I 1976 skrev en gruppe amerikanske matematikere et program for å løse dette problemet (og de bestemte seg: ja, fire farger vil alltid være nok). Dette var det første beviset på et matematisk faktum oppnådd ved hjelp av en "matematisk maskin" - som en datamaskin ble kalt for et halvt århundre siden (og enda tidligere: "elektronisk hjerne").

Her er et spesielt vist "kart over Europa" (Fig. 9). De landene som har en felles grense henger sammen. Å fargelegge kartet er det samme som å fargelegge sirklene i denne grafen (kalt grafen) slik at ingen sammenkoblede sirkler har samme farge. En titt på Liechtenstein, Belgia, Frankrike og Tyskland viser at tre farger ikke er nok. Hvis du ønsker det, Leser, fargelegg det med fire farger.

9. Hvem grenser til hvem i Europa?

Vel, ja, men er det verdt skattebetalernes penger? Så la oss se på den samme grafen litt annerledes. Glem at det er stater og grenser. La sirklene symbolisere informasjonspakker som skal sendes fra ett punkt til et annet (for eksempel fra P til EST), og segmentene representerer mulige forbindelser, som hver har sin egen båndbredde. Sende så fort som mulig?

La oss først se på en veldig forenklet, men også veldig interessant situasjon fra et matematisk synspunkt. Vi må sende noe fra punkt S (= som start) til punkt M (= slutt) ved hjelp av et tilkoblingsnettverk med samme båndbredde, si 1. Vi ser dette i Fig. 10.

10. Nettverk av forbindelser fra Statsyika Zdrój til Megapolis.

La oss forestille oss at omtrent 89 biter med informasjon må sendes fra S til M. Forfatteren av disse ordene liker problemer med tog, så han ser for seg at han er en leder ved Stacie Zdrój, hvorfra han må sende 144 vogner. til metropol stasjon. Hvorfor akkurat 144? For som vi skal se, vil dette bli brukt til å beregne gjennomstrømningen til hele nettverket. Kapasiteten er 1 i hvert parti, dvs. én bil kan passere per tidsenhet (én informasjonsbit, muligens også Gigabyte).

La oss sørge for at alle biler møtes samtidig i M. Alle kommer dit på 89 tidsenheter. Hvis jeg har en veldig viktig informasjonspakke fra S til M å sende, deler jeg den opp i grupper på 144 enheter og skyver den gjennom som ovenfor. Regnestykket garanterer at dette vil være raskest. Hvordan visste jeg at du trenger 89? Jeg gjettet faktisk, men hvis jeg ikke gjettet, måtte jeg finne ut av det Kirchhoff-ligninger (husker noen? - dette er ligninger som beskriver strømmen). Nettverksbåndbredden er 184/89, som er omtrent lik 1,62.

Om glede

Jeg liker forresten tallet 144. Jeg likte å kjøre buss med dette nummeret til Slottsplassen i Warszawa – da det ikke var noe restaurert kongeslott ved siden av. Kanskje vet unge lesere hva et dusin er. Det er 12 eksemplarer, men det er bare eldre lesere som husker at et titalls, dvs. 122=144, dette er det såkalte partiet. Og alle som kan matematikk litt mer enn skolepensum vil umiddelbart forstå det Fig. 10 vi har Fibonacci-tall og at nettverksbåndbredden er nær det "gyldne tallet"

I Fibonacci-sekvensen er 144 det eneste tallet som er et perfekt kvadrat. Ett hundre og førtifire er også et "gledenummer". Det er hvordan en indisk amatørmatematiker Dattatreya Ramachandra Caprecar i 1955 navnga han tall som er delbare med summen av sifrene deres:

Hvis han visste det Adam Mickiewicz, ville han sikkert ha skrevet nei i Dzyady: «Fra en fremmed mor; hans blod er hans gamle helter / Og hans navn er førtifire, bare mer elegant: Og navnet hans er hundre og førtifire.

Ta underholdning på alvor

Jeg håper jeg har overbevist leserne om at Sudoku-oppgaver er den morsomme siden av spørsmål som absolutt fortjener å bli tatt på alvor. Jeg kan ikke utvikle dette emnet videre. Å, full nettverksbåndbreddeberegning fra diagrammet som følger med Fig. 9 å skrive et ligningssystem ville ta to eller flere timer – kanskje til og med titalls sekunder (!) med dataarbeid.