Fargede firkanter og solformørkelser

Artikkelen beskriver mine klasser for ungdomsskoleelever - stipendiere av National Children's Fund. Stiftelsen oppsøker spesielt begavede barn og unge (fra XNUMX. klasse i grunnskolen til videregående) og tilbyr «stipend» til utvalgte elever. De består imidlertid ikke i det hele tatt i å ta ut penger, men i omfattende omsorg for utvikling av talent, som regel over mange år. I motsetning til mange andre prosjekter av denne typen, tar kjente vitenskapsmenn, kulturpersonligheter, fremtredende humanister og andre kloke mennesker, samt enkelte politikere, stiftelsens avdelinger på alvor.

Stiftelsens virksomhet omfatter alle disipliner som er grunnfag i skolen, bortsett fra idrett, inkludert kunst. Fondet ble opprettet i 1983 som en motgift mot den daværende virkeligheten. Hvem som helst kan søke fondet (vanligvis gjennom en skole, helst før skoleårets slutt), men det er selvfølgelig en viss sil, en viss kvalifiseringsprosedyre.

Som jeg allerede har nevnt, er artikkelen basert på mesterklassene mine, nærmere bestemt i Gdynia, i mars 2016, på den 24. ungdomsskolen ved III videregående skole. Marinen. I mange år har disse seminarene blitt arrangert i regi av stiftelsen av Wojciech Thomalczyk, en lærer med ekstraordinær karisma og høyt intellektuelt nivå. I 2008 kom han inn på topp ti i Polen, som ble tildelt tittelen professor i pedagogikk (bestemt ved lov for mange år siden). Det er en liten overdrivelse i utsagnet: "Utdanning er verdens akse".

og månen er alltid fascinerende – da kan du føle at vi bor på en bitteliten planet i et enormt rom, hvor alt er i bevegelse, målt i centimeter og sekunder. Det skremmer meg til og med litt, også tidsperspektivet. Vi får vite at den neste totale formørkelsen, synlig fra området til dagens Warszawa, vil være i ... 2681. Jeg lurer på hvem som vil se det? De tilsynelatende størrelsene på solen og månen på himmelen vår er nesten de samme - det er derfor formørkelser er så korte og så spektakulære. I århundrer skulle disse korte minuttene være nok for astronomer til å se solkoronaen. Det er rart at de skjer to ganger i året... men det betyr bare at et sted på jorden kan de sees for en kort periode. Som et resultat av tidevannsbevegelser beveger Månen seg bort fra Jorden – om 260 millioner år vil den være så langt unna at vi (vi???) bare vil se ringformørkelser.

Tilsynelatende den første som spådde eclipse, var Thales av Milet (28-585 århundrer f.Kr.). Vi vil sannsynligvis ikke vite om det faktisk skjedde, det vil si om han forutså det, fordi det faktum at formørkelsen i Lilleasia skjedde i mai 567, 566 f.Kr. er et faktum bekreftet av moderne beregninger. Jeg siterer selvfølgelig data for dagens beretning om tid. Da jeg var barn, så jeg for meg hvordan folk telte år. Så dette er for eksempel XNUMX f.Kr., nyttårsaften kommer og folk gleder seg: bare XNUMX år f.Kr.! Så glade de må ha vært da «vår tid» endelig kom! For en årtusenskifte vi opplevde for noen år siden!

Matematikken for å beregne datoer og områder formørkelser, er ikke spesielt komplisert, men er proppet med alle slags faktorer assosiert med regelmessighet og, enda verre, med den ujevne bevegelsen av kroppen i baner. Jeg vil til og med gjerne vite denne matematikken. Hvordan kunne Thales fra Milet gjøre de nødvendige beregningene? Svaret er enkelt. Du må ha et himmelkart. Hvordan lage et slikt kart? Dette er heller ikke vanskelig, de gamle egypterne visste hvordan de skulle gjøre det. Ved midnatt kommer to prester ut på taket av templet. Hver av dem setter seg ned og tegner det han ser (som sin kollega). Etter to tusen år vet vi alt om bevegelsen til planetene ...

Vakker geometri, eller moro på "teppet"

Grekerne likte ikke tall, de brukte geometri. Dette skal vi gjøre. Vår eclipse de vil være enkle, fargerike, men like interessante og ekte. Vi aksepterer konvensjonen om at den blå figuren beveger seg på en slik måte at den formørker den røde. La oss kalle den blå figuren månen, og den røde figuren solen. Vi stiller oss følgende spørsmål:

1. hvor lenge varer en formørkelse;
2. når halvparten av målet er dekket;

   Ris. 1 Flerfarget "teppe" med sol og måne

3. hva er maksimal dekning;
4. er det mulig å analysere avhengigheten av skjolddekningen i tide? I denne artikkelen (jeg er begrenset av mengden tekst) vil jeg fokusere på det andre spørsmålet. Bak dette ligger en fin geometri, kanskje uten kjedelige utregninger. La oss se på fig. 1. Kan det antas at det vil være forbundet med ... en solformørkelse?

Jeg må ærlig si at oppgavene som jeg skal diskutere vil være spesielt utvalgt, tilpasset kunnskapen og ferdighetene til ungdoms- og videregående elever. Men vi trener på slike oppgaver som musikere spiller skalaer, og idrettsutøvere gjør generelle utviklingsøvelser. Dessuten, er det ikke bare et vakkert teppe (fig. 1)?

Ris. 2 "Blå" måne og "rød" sol

Våre himmellegemer, i det minste til å begynne med, vil være fargede firkanter. Månen er blå, solen er rød (best til å fargelegge). med nåtiden eclipse Månen jager solen over himmelen, innhenter ... og lukker den. Det blir det samme med oss. Det enkleste tilfellet, når månen beveger seg i forhold til solen, som vist i fig. 2. En formørkelse begynner når kanten av Månens skive berører kanten av Solens skive (fig. 2) og slutter når den går forbi den.

Ris. 3 Månen nærmer seg solen diagonalt

Vi antar at "Månen" beveger seg én celle per tidsenhet, for eksempel per minutt. Formørkelsen varer da åtte tidsenheter, si minutter. Halv solformørkelser helt nedtonet. Halvparten av skiven lukkes to ganger: etter 2 og 6 minutter. Grafen for prosentvis obskurering er enkel. I løpet av de to første minuttene lukkes skjoldet jevnt med en hastighet på null til 1, de neste to minuttene blir det eksponert med samme hastighet.

Her er et mer interessant eksempel (fig. 3). Månen nærmer seg solen diagonalt. I henhold til vår betalingsavtale per minutt varer formørkelsen 8√2 minutter - midt i denne tiden har vi en total formørkelse. La oss beregne hvilken del av solen som er dekket etter tid t (fig. 3). Hvis det har gått t minutter siden begynnelsen av formørkelsen, og som et resultat av dette er månen som vist i fig. 5, så (oppmerksomhet!) Derfor er den dekket (arealet av kvadratet APQR), lik halvparten av solskiven; derfor ble den dekket når, dvs. etter 4 minutter (deretter 4 minutter før slutten av formørkelsen).

Ris. 4 Graf over funksjonen "skyggelegging".

Totalitet varer ett øyeblikk (t = 4√2), og grafen til funksjonen "skyggelagt del" består av to buer med parabler (fig. 4).

Vår blå måne vil berøre hjørnet med den røde solen, men den vil dekke den, ikke diagonalt, men litt diagonalt. Interessant geometri dukker opp når vi kompliserer bevegelsen litt (fig. 6). Bevegelsesretningen er nå vektor [4,3], det vil si "fire celler til høyre, tre celler opp." Solens posisjon er slik at formørkelsen begynner (posisjon A) når sidene til «himmellegemene» konvergerer til en fjerdedel av lengden. Når månen beveger seg til posisjon B, vil den formørke en sjettedel av solen, og i posisjon C vil den formørke halvparten. I posisjon D har vi en total formørkelse, og så går alt tilbake, «som det var».

Ris. 5 En del av solen skjult under tiden t

Formørkelsen slutter når Månen er i posisjon G. Den varte så lenge som seksjonslengde AG. Hvis vi som før tar som en tidsenhet tiden Månen passerer «ett kvadrat», så er lengden på AG lik. Hvis vi gikk tilbake til den gamle konvensjonen om at himmellegemene våre er 4 ganger 4, ville resultatet vært annerledes (hva?). Som det er enkelt å vise, lukkes målet etter t < 15. Grafen for funksjonen "prosent av skjermdekning" kan sees i fig. 6.

Ris. 6 Graf over funksjonen "prosent beskyttelse".

Formørkelse og hopp-ligning

Ris. 7 Hindring av solskiven under formørkelsen vist i fig. 6

Problemet med formørkelser ville være ufullstendig hvis vi ikke vurderte tilfellet med sirkler. Dette er mye mer komplisert, men la oss prøve å finne ut når en sirkel formørker halvparten av den andre - og i det enkleste tilfellet, når en av dem beveger seg langs diameteren som forbinder dem begge. Tegningen er kjent for innehavere av et kredittkort.

Å beregne posisjonen til feltene er komplisert, siden det for det første krever kunnskap om formelen for arealet av et sirkulært segment, for det andre kunnskap om vinkelbuen, og for det tredje (og verst av alt), evnen å løse en viss hoppligning. Jeg vil ikke forklare hva en "transitiv ligning" er, la oss se på et eksempel (fig. 8).

Ris. 8 "Sfærisk" formørkelse

Et sirkulært snitt er "skålen" som blir igjen etter å ha kuttet en sirkel med en rett linje. Arealet til et slikt segment er S = 1/2r²(φ-sinφ), hvor r er radiusen til sirkelen, og φ er den sentrale vinkelen som segmentet hviler på (fig. 8). Dette oppnås enkelt ved å trekke fra arealet av trekanten fra området til den sirkulære sektoren.

Episode O₁O₂ (avstanden mellom sentrene til sirklene) er da lik 2rcosφ/2, og høyden (bredde, "midjelinje") h = 2rsinφ/2. Så hvis vi vil beregne når månen vil dekke halvparten av solskiven, må vi løse ligningen: som etter forenkling blir:

Ris. 9 Grafer over to funksjoner

Løsningen av slike ligninger går utover enkel algebra - ligningen inneholder både vinkler og deres trigonometriske funksjoner. Ligningen er utenfor rekkevidden av tradisjonelle metoder. Det er derfor det heter å hoppe. La oss først se på grafene til begge funksjonene, dvs. funksjoner og funksjoner. Vi kan lese en omtrentlig løsning fra denne figuren. Imidlertid kan vi få en iterativ tilnærming eller ... bruke løsningsalternativet i Excel-regnearket. Hver videregående elev burde kunne gjøre dette, for det er det 20. århundre. Jeg brukte et mer sofistikert Mathematica-verktøy, og her er løsningen vår med XNUMX desimaler med unødvendig presisjon:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Ris. 10 Animasjon av formørkelse i matematica

Vi gjør dette til grader ved å multiplisere med 180/π. Vi får 132 grader, 20 minutter, 45 og et kvart buesekund. Vi beregner at avstanden til sentrum av sirkelen er O₁O₂ = 0,808 radius, og "midje" 2,310.