Geometriske stier og kratt

Mens jeg skrev denne artikkelen, husket jeg en veldig gammel sang av Jan Pietrzak, som han sang før sin satiriske aktivitet i kabareten Pod Egidą, anerkjent i Den polske folkerepublikk som en sikkerhetsventil; man kunne ærlig talt le av paradoksene i systemet. I denne sangen anbefalte forfatteren sosialistisk politisk deltakelse, latterliggjorde de som ønsker å være upolitiske og slo av radioen i avisen. «Det er bedre å gå tilbake til skolen og lese», sang den da XNUMX år gamle Petshak ironisk.

Jeg skal tilbake til skolen og lese. Jeg leser på nytt (ikke for første gang) boken til Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". For få lesere sier selve ordet noe. Dette er navnet på datteren til den berømte hinduistiske matematikeren kjent som Bhaskara (1114-1185), kalt Akaria, eller vismannen som ga tittelen sin bok om algebra med det navnet. Lilavati ble senere en kjent matematiker og filosof selv. Ifølge andre kilder var det hun som skrev boken selv.

Szczepan Yelensky ga samme tittel til sin bok om matematikk (første utgave, 1926). Det kan til og med være vanskelig å kalle denne boken et matematisk verk - den var mer et sett med gåter, og i stor grad omskrevet fra franske kilder (opphavsrett i moderne forstand eksisterte ikke). I alle fall var det i mange år den eneste populære polske boken om matematikk - senere ble Jelenskys andre bok, Pythagoras' søtsaker, lagt til den. Så unge mennesker interessert i matematikk (som er akkurat det jeg en gang var) hadde ingenting å velge mellom ...

på den annen side, "Lilavati" måtte være kjent nesten utenat... Ah, det var tider... Deres største fordel var at jeg var... tenåring da. I dag, fra en velutdannet matematikers synspunkt, ser jeg på Lilavati på en helt annen måte - kanskje som en klatrer i svingene på stien til Shpiglasova Pshelench. Verken det ene eller det andre mister sin sjarm ... I sin karakteristiske stil skriver Shchepan Yelensky, som bekjenner seg til de såkalte nasjonale ideene i sitt personlige liv, i forordet:

Uten å berøre beskrivelsen av nasjonale kjennetegn, vil jeg si at selv etter nitti år har ikke Yelenskys ord om matematikk mistet sin relevans. Matematikk lærer deg å tenke. Det er fakta. Kan vi lære deg å tenke annerledes, enklere og vakrere? Kan være. Det er bare... vi kan fortsatt ikke. Jeg forklarer elevene mine som ikke vil gjøre matte at dette også er en test av intelligensen deres. Hvis du ikke kan lære virkelig enkel matematikk teori, så... kanskje dine mentale evner er dårligere enn vi begge ønsker...?

Tegn i sanden

Og her er den første historien i «Lylavati» – en historie beskrevet av den franske filosofen Joseph de Maistre (1753-1821).

En sjømann fra et havarert skip ble kastet av bølger på en tom strand, som han anså som ubebodd. Plutselig, i kystsanden, så han et spor av en geometrisk figur tegnet foran noen. Det var da han skjønte at øya ikke er øde!

Yelensky siterer de Mestri og skriver: geometrisk figurdet ville ha vært et stumt uttrykk for den uheldige, forliste, tilfeldigheten, men han viste ham med et øyekast proporsjon og antall, og dette varslet en opplyst mann. Så mye for historien.

Merk at en sjømann vil forårsake den samme reaksjonen, for eksempel ved å tegne bokstaven K, ... og andre spor av en persons tilstedeværelse. Her er geometrien idealisert.

Imidlertid foreslo astronomen Camille Flammarion (1847-1925) at sivilisasjoner skulle hilse på hverandre på avstand ved hjelp av geometri. Han så i dette det eneste riktige og mulige forsøket på kommunikasjon. La oss vise slike marsboere de pytagoreiske trekantene ... de vil svare oss med Thales, vi vil svare dem med Vieta-mønstre, sirkelen deres vil passe inn i en trekant, så et vennskap begynte ...

Forfattere som Jules Verne og Stanislav Lem vendte tilbake til denne ideen. Og i 1972 ble fliser med geometriske (og ikke bare) mønstre plassert om bord på Pioneer-sonden, som fortsatt krysser verdensrommet, nå nesten 140 astronomiske enheter fra oss (1 I er gjennomsnittsavstanden til jorden fra jorden) . Sol, dvs. omtrent 149 millioner km). Flisen ble delvis designet av astronomen Frank Drake, skaperen av den kontroversielle regelen om antall utenomjordiske sivilisasjoner.

Geometri er fantastisk. Vi kjenner alle det generelle synspunktet på opprinnelsen til denne vitenskapen. Vi (vi mennesker) har akkurat begynt å måle landet (og senere landet) for de mest utilitaristiske formål. Å bestemme avstander, tegne rette linjer, markere rette vinkler og beregne volumer ble etter hvert en nødvendighet. Derav hele greia geometri ("Måling av jorden"), derav all matematikk ...

Men i noen tid gjorde dette klare bildet av vitenskapens historie uklare oss. For hvis matematikk var nødvendig utelukkende for operasjonelle formål, ville vi ikke vært engasjert i å bevise enkle teoremer. "Du ser at dette burde være sant i det hele tatt," ville man si etter å ha sjekket at summen av kvadratene til hypotenusene i flere rette trekanter er lik kvadratet av hypotenusen. Hvorfor slik formalisme?

Plommepai må være deilig, dataprogrammet må fungere, maskinen må fungere. Hvis jeg telte kapasiteten til fatet tretti ganger og alt er i orden, hvorfor ellers?

I mellomtiden gikk det opp for de gamle grekerne at noen formelle bevis måtte finnes.

Så, matematikk begynner med Thales (625-547 f.Kr.). Det antas at det var Milet som begynte å lure på hvorfor. Det er ikke nok for smarte mennesker at de har sett noe, at de er overbevist om noe. De så behovet for bevis, en logisk sekvens av argumenter fra antagelse til avhandling.

De ville også ha mer. Det var trolig Thales som først forsøkte å forklare fysiske fenomener på en naturalistisk måte, uten guddommelig inngripen. Europeisk filosofi begynte med naturfilosofien – med det som allerede ligger bak fysikken (derav navnet: metafysikk). Men grunnlaget for europeisk ontologi og naturfilosofi ble lagt av pytagoreerne (Pythagoras, ca. 580-ca. 500 f.Kr.).

Han grunnla sin egen skole i Crotone sør på Apennin-halvøya – i dag vil vi kalle det en sekt. Vitenskap (i dagens betydning av ordet), mystikk, religion og fantasi er alle tett sammenvevd. Thomas Mann presenterte meget vakkert matematikktimene i en tysk gymsal i romanen Doktor Faustus. Oversatt av Maria Kuretskaya og Witold Virpsha, lyder dette fragmentet:

I Charles van Dorens interessante bok, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, fant jeg et veldig interessant synspunkt. I et av kapitlene beskriver forfatteren betydningen av den pytagoreiske skolen. Selve tittelen på kapittelet slo meg. Den lyder: "The Invention of Mathematics: The Pythagorans".

Vi diskuterer ofte om matematiske teorier blir oppdaget (f.eks. ukjente land) eller oppfunnet (f.eks. maskiner som ikke eksisterte før). Noen kreative matematikere ser på seg selv som forskere, andre som oppfinnere eller designere, kontrar sjeldnere.

Men forfatteren av denne boken skriver om oppfinnelsen av matematikk generelt.

Fra overdrivelse til villfarelse

Etter denne lange innledende delen går jeg videre til begynnelsen. geometrifor å beskrive hvordan en overdreven avhengighet av geometri kan villede en vitenskapsmann. Johannes Kepler er kjent innen fysikk og astronomi som oppdageren av de tre bevegelseslovene til himmellegemer. For det første beveger hver planet i solsystemet seg rundt solen i en elliptisk bane, med solen i en av brennpunktene. For det andre, med jevne mellomrom trekker planetens ledende stråle, trukket fra solen, like felt. For det tredje er forholdet mellom kvadratet av revolusjonsperioden til en planet rundt solen og kuben til halvhovedaksen i dens bane (dvs. gjennomsnittlig avstand fra solen) konstant for alle planeter i solsystemet.

Kanskje dette var den tredje loven - det krevde mye data og beregninger for å etablere den, noe som fikk Kepler til å fortsette å søke etter mønstre i planetenes bevegelse og posisjon. Historien om hans nye "oppdagelse" er veldig lærerik. Siden antikken har vi ikke bare beundret vanlige polyedre, men også argumenter som viser at det bare er fem av dem i verdensrommet. Et tredimensjonalt polyeder kalles regulært hvis overflatene er identiske regulære polygoner og hvert toppunkt har samme antall kanter. Illustrativt sett skal hvert hjørne av et vanlig polyeder "se like ut". Det mest kjente polyederet er kuben. Alle har sett en vanlig ankel.

Det vanlige tetraederet er mindre kjent, og i skolen kalles det den vanlige trekantpyramiden. Det ser ut som en pyramide. De resterende tre vanlige polyedre er mindre kjente. Et oktaeder dannes når vi kobler sammen midten av kantene på en kube. Dodekaeder og ikosaeder ser allerede ut som kuler. Laget av mykt skinn, ville de være behagelige å grave. Begrunnelsen for at det ikke finnes vanlige polyedere annet enn de fem platoniske faste stoffene er veldig bra. Først innser vi at hvis kroppen er regulær, så må det samme antallet (la q) av identiske regulære polygoner konvergere ved hvert toppunkt, la disse være p-vinkler. Nå må vi huske hva som er vinkelen i en vanlig polygon. Hvis noen ikke husker fra skolen, minner vi deg på hvordan du finner riktig mønster. Vi tok en tur rundt hjørnet. Ved hvert toppunkt dreier vi gjennom samme vinkel a. Når vi går rundt polygonet og går tilbake til utgangspunktet har vi gjort p slike svinger, og totalt har vi snudd 360 grader.

Men α er 180 graders komplement til vinkelen vi ønsker å beregne, og er derfor

Vi har funnet formelen for vinkelen (en matematiker vil si: mål på en vinkel) til en regulær polygon. La oss sjekke: i trekanten p = 3 er det ingen a

Som dette. Når p = 4 (kvadrat), da

grader er også greit.

Hva får vi for en femkant? Så hva skjer når det er q polygoner, hver p har de samme vinklene

 grader synkende ved ett toppunkt? Hvis det var på et plan, ville det dannet seg en vinkel

grader og kan ikke være mer enn 360 grader – for da overlapper polygonene.

Men siden disse polygonene møtes i rommet, må vinkelen være mindre enn hele vinkelen.

Og her er ulikheten som det hele følger av:

Del det med 180, gang begge deler med p, rekkefølge (p-2) (q-2) < 4. Hva følger? La oss være klar over at p og q må være naturlige tall og at p > 2 (hvorfor? Og hva er p?) og også q > 2. Det er ikke mange måter å gjøre produktet av to naturlige tall mindre enn 4 på. Vi vil liste dem alle i tabell 1.

Jeg legger ikke ut tegninger, alle kan se disse figurene på Internett... På Internett... Jeg vil ikke nekte en lyrisk digresjon - kanskje det er interessant for unge lesere. I 1970 talte jeg på et seminar. Temaet var vanskelig. Jeg hadde liten tid til å forberede meg, jeg satt på kveldene. Hovedartikkelen var skrivebeskyttet på plass. Stedet var koselig, med arbeidsatmosfære, vel, det stengte klokken syv. Så tilbød bruden (nå min kone) selv å skrive om hele artikkelen for meg: omtrent et dusin trykte sider. Jeg kopierte den (nei, ikke med fjerpenn, vi hadde til og med penner), foredraget var en suksess. I dag prøvde jeg å finne denne publikasjonen, som allerede er gammel. Jeg husker bare navnet på forfatteren... Søk på Internett varte lenge... hele femten minutter. Jeg tenker på det med et smil og litt uberettiget anger.

Vi går tilbake til Keplera og geometri. Tilsynelatende forutså Platon eksistensen av den femte regulære formen fordi han manglet noe samlende, som dekket hele verden. Kanskje det var derfor han instruerte en student (Theajtet) om å lete etter henne. Som det var, så var det, på grunnlag av hvilken dodekaederet ble oppdaget. Vi kaller denne holdningen til Platon panteisme. Alle forskere, helt ned til Newton, bukket under for det i større eller mindre grad. Siden det høyst rasjonelle attende århundre har dens innflytelse blitt drastisk redusert, selv om vi ikke skal skamme oss over det faktum at vi alle bukker under for den på en eller annen måte.

I Keplers konsept med å bygge solsystemet var alt riktig, de eksperimentelle dataene falt sammen med teorien, teorien var logisk sammenhengende, veldig vakker ... men fullstendig falsk. På hans tid var bare seks planeter kjent: Merkur, Venus, Jorden, Mars, Jupiter og Saturn. Hvorfor er det bare seks planeter? spurte Kepler. Og hvilken regelmessighet bestemmer deres avstand fra solen? Han antok at alt hang sammen, det geometri og kosmogoni er nært beslektet med hverandre. Fra de gamle grekernes skrifter visste han at det bare var fem vanlige polyedre. Han så at det var fem tomrom mellom de seks banene. Så kanskje hver av disse ledige plassene tilsvarer et vanlig polyeder?

Etter flere år med observasjon og teoretisk arbeid skapte han følgende teori, ved hjelp av hvilken han beregnet ganske nøyaktig dimensjonene til banene, som han presenterte i boken "Mysterium Cosmographicum", utgitt i 1596: Forestill deg en gigantisk sfære, hvis diameter er diameteren til Merkurs bane i dens årlige bevegelse rundt solen. Tenk deg så at på denne kulen er det et vanlig oktaeder, på det en kule, på det et ikosaeder, på det igjen en kule, på det et dodekaeder, på det en annen kule, på det et tetraeder, så igjen en kule, en kube og til slutt, på denne kuben er ballen beskrevet.

Kepler konkluderte med at diameteren til disse påfølgende kulene var diameteren til banene til andre planeter: Merkur, Venus, Jorden, Mars, Jupiter og Saturn. Teorien så ut til å være veldig nøyaktig. Dessverre falt dette sammen med de eksperimentelle dataene. Og hva er vel bedre bevis på riktigheten av en matematisk teori enn dens korrespondanse med eksperimentelle data eller observasjonsdata, spesielt "tatt fra himmelen"? Jeg oppsummerer disse beregningene i tabell 2. Så hva gjorde Kepler? Jeg prøvde og prøvde til det fungerte, det vil si når konfigurasjonen (rekkefølgen av sfærer) og de resulterende beregningene falt sammen med observasjonsdataene. Her er moderne Kepler-figurer og beregninger:

Man kan gi etter for fascinasjonen av teorien og tro at målingene på himmelen er unøyaktige, og ikke beregningene som er gjort i verkstedets stillhet. Dessverre vet vi i dag at det er minst ni planeter og at alle sammentreff av resultater bare er en tilfeldighet. Synd. Det var så vakkert...