Lem, Tokarchuk, Krakow, matematikk

3.-7. september 2019 fant jubileumskongressen til Polish Mathematical Society sted i Krakow. Jubileum, fordi hundreårsdagen for stiftelsen av foreningen. Den eksisterte i Galicia fra de første årene (uten adjektivet om at den polske liberalismen til keiseren FJ1 hadde sine begrensninger), men som en landsdekkende organisasjon opererte den først fra 1919. Store fremskritt i polsk matematikk dateres tilbake til 1919-tallet 1939-XNUMX. XNUMX ved Jan Casimir-universitetet i Lviv, men stevnet kunne ikke finne sted der – og det er heller ikke den beste ideen.

Møtet var veldig festlig, fullt av tilhørende arrangementer (inkludert en forestilling av Jacek Wojcicki på slottet i Niepolomice). Hovedforelesningene ble holdt av 28 foredragsholdere. De var på polsk fordi de inviterte gjestene var polakker – ikke nødvendigvis i betydningen statsborgerskap, men anerkjente seg selv som polakker. Å ja, bare tretten forelesere kom fra polske vitenskapelige institusjoner, de resterende femten kom fra USA (7), Frankrike (4), England (2), Tyskland (1) og Canada (1). Vel, dette er et velkjent fenomen i fotballigaer.

De beste opptrer stadig i utlandet. Det er litt trist, men frihet er frihet. Flere polske matematikere har gjort utenlandskarrierer som er uoppnåelige i Polen. Penger spiller en sekundær rolle her, men jeg ønsker ikke å skrive om slike temaer. Kanskje bare to kommentarer.

I Russland, og før det i Sovjetunionen, var og er dette på det mest bevisste nivået ... og det er liksom ingen som ønsker å emigrere dit. I Tyskland søker rundt et dusin kandidater på et professorat ved et hvilket som helst universitet (kolleger fra University of Konstanz sa at de hadde 120 søknader i løpet av et år, hvorav 50 var veldig gode, og 20 var utmerket).

Få av jubileumskongressens forelesninger kan oppsummeres i vår månedlige journal. Overskrifter som "Grenser for sparsomme grafer og deres anvendelser" eller "Lineær struktur og geometri av underrom og faktorrom for høydimensjonale normaliserte rom" vil ikke fortelle den gjennomsnittlige leseren noe. Det andre emnet ble introdusert av min venn fra de første kursene, Nicole Tomchak.

For noen år siden ble hun nominert for prestasjonen som ble presentert i dette foredraget. Fields medalje er tilsvarende for matematikere. Så langt er det kun én kvinne som har mottatt denne prisen. Også verdt å merke seg er foredraget Anna Marciniak-Chokhra (Heidelberg University) "Rollen til mekanistiske matematiske modeller i medisin på eksemplet med leukemimodellering".

kom inn i medisin. Ved universitetet i Warszawa har en gruppe ledet av prof. Jerzy Tyurin.

Tittelen på foredraget vil være uforståelig for leserne Veslava Niziol (z prestiżowej høyere pedagogisk skole) "-adic teori om Hodge". Det er likevel dette foredraget jeg har bestemt meg for å diskutere her.

Geometri-adiske verdener

Det starter med enkle små ting. Husker du, leser, metoden for skriftlig utveksling? Helt sikkert. Tenk tilbake på de bekymringsløse årene på grunnskolen. Del 125051 med 23 (dette er handlingen til venstre). Vet du at det kan være annerledes (handling til høyre)?

Denne nye metoden er interessant. Jeg går fra slutten. Vi må dele 125051 på 23. Hva må vi gange 23 med slik at det siste sifferet er 1? Søker i minnet og vi har :=7. Det siste sifferet i resultatet er 7. Multipliser, trekk fra, vi får 489. Hvordan multipliserer du 23 for å ende opp med 9? Selvfølgelig, med 3. Vi kommer til det punktet hvor vi bestemmer alle tallene for resultatet. Vi synes det er upraktisk og vanskeligere enn vår vanlige metode – men det er et spørsmål om praksis!

Ting tar en annen vending når den modige mannen ikke er helt delt av deleren. La oss dele opp og se hva som skjer.

Til venstre er en typisk skolebane. Til høyre er «våre rare».

Vi kan sjekke begge resultatene ved å multiplisere. Vi forstår det første: en tredjedel av tallet 4675 er tusen fem hundre og femtiåtte, og tre i perioden. Den andre gir ikke mening: hva er dette tallet foran et uendelig antall seksere og deretter 8225?

La oss forlate spørsmålet om mening et øyeblikk. La oss leke. Så la oss dele 1 på 3 og deretter 1 på 7 som er en tredjedel og en syvende. Vi kan enkelt få:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Denne siste linjen betyr: blokk 285714 gjentas på ubestemt tid i begynnelsen, og til slutt er det tre av dem. For de som ikke tror, ​​her er en test:

La oss nå legge til brøker:

Så legger vi sammen de mottatte merkelige tallene, og vi får (sjekk) det samme merkelige tallet.

......95238095238095238095238010

Vi kan sjekke at dette er lik

Hovedsaken er ennå ikke sett, men regnestykket er riktig.

Et eksempel til.

Det vanlige, om enn stort, tallet 40081787109376 har en interessant egenskap: torget ender også på 40081787109376. nummeret x40081787109376, som er ( x40081787109376)² slutter også på x40081787109376.

Tips. Vi har 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, så neste siffer er tre til ti-komplement, som er 7. La oss sjekke: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Spørsmålet om hvorfor det er slik er vanskelig. Det er enklere: finn lignende endelser for tall som slutter på 5. Hvis vi fortsetter prosessen med å finne de neste sifrene i det uendelige, vil vi komme til slike "tall" som ²=²= (og ingen av disse tallene er lik null eller én).

vi forstår godt. Jo lenger etter desimaltegnet, jo mindre viktig er tallet. I tekniske beregninger er det første sifferet etter desimaltegnet viktig, så vel som det andre, men i mange tilfeller kan det antas at forholdet mellom omkretsen av en sirkel og dens diameter er 3,14. Det må selvfølgelig flere tall med i flybransjen, men jeg tror ikke det blir flere enn ti.

Navnet sto i tittelen på artikkelen Stanislav Lem (1921-2006), samt vår nye nobelprisvinner. dame Olga Tokarchuk Jeg nevnte dette bare fordi skrikende urettferdighetFaktum er at Stanislav Lem ikke mottok Nobelprisen i litteratur. Men det er ikke i vårt hjørne.

Lem så ofte fremtiden. Han lurte på hva som ville skje når de ble uavhengige av mennesker. Hvor mange filmer om dette emnet har dukket opp i det siste! Lem forutså og beskrev ganske nøyaktig den optiske leseren og fremtidens farmakologi.

Han kunne matematikk, selv om han noen ganger behandlet det som et ornament, og brydde seg ikke om riktigheten av beregningene. For eksempel, i historien "Trial", går Pirks-piloten inn i bane B68 med en rotasjonsperiode på 4 timer og 29 minutter, og instruksjonen er 4 timer og 26 minutter. Han husker at de regnet med en feil på 0,3 prosent. Han gir dataene til kalkulatoren, og kalkulatoren svarer at alt er bra ... Vel, nei. Tre tideler av en prosent av 266 minutter er mindre enn et minutt. Men endrer denne feilen noe? Kanskje det var med vilje?

Hvorfor skriver jeg om dette? Mange matematikere har også reist dette spørsmålet: forestill deg et fellesskap. De har ikke vårt menneskelige sinn. For oss er 1609,12134 og 1609,23245 veldig nære tall - gode tilnærminger til den engelske milen. Imidlertid kan datamaskiner vurdere tallene 468146123456123456 og 9999999123456123456 for å være nærme. De har de samme tolvsifrede endelsene.

Jo mer vanlige sifre på slutten, jo nærmere tallene. Og dette fører til den såkalte avstanden -adic. La p være lik 10 et øyeblikk; hvorfor bare "for en stund", vil jeg forklare ... nå. 10 punkts avstanden til tallene skrevet ovenfor er 

eller en milliondel - fordi disse tallene har seks felles sifre på slutten. Alle heltall avviker fra null med én eller mindre. Jeg vil ikke engang skrive en mal fordi det ikke spiller noen rolle. Jo flere identiske tall på slutten, jo nærmere tallene (for en person, tvert imot, blir de første tallene vurdert). Det er viktig at p er et primtall.

Så - de liker nuller og enere, så de ser alt i disse mønstrene: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

I romanen Glos Pana ansetter Stanisław Lem forskere for å prøve å lese en melding sendt fra livet etter døden, kodet null-en selvfølgelig. Er det noen som skriver til oss? Lem argumenterer for at "enhver melding kan leses hvis det er en melding om at noen ønsket å fortelle oss noe." Men er det det? Jeg vil etterlate leserne med dette dilemmaet.

Vi lever i XNUMXD-rom R³. Brev R minner om at aksene består av reelle tall, dvs. heltall, negative og positive, null, rasjonelle (dvs. brøker) og irrasjonelle, som leserne møtte på skolen (), og tall kjent som transcendentale tall, utilgjengelige i algebra (dette er tallet π , som har koblet diameteren til en sirkel med omkretsen i mer enn to tusen år).

Hva om aksene i rommet vårt var -adiske tall?

Jerzy Mioduszowski, en matematiker ved University of Silesia, argumenterer for at dette kan være slik, og til og med at det kan være slik. Vi kan (sier Jerzy Mioduszowski) okkupere samme plass i rommet med slike vesener, uten å forstyrre og uten å se hverandre.

Så vi har all geometrien til "deres" verden å utforske. Det er usannsynlig at "de" tenker på samme måte om oss og også studerer geometrien vår, fordi vår er et grensetilfelle av alle "deres" verdener. «Dem», altså alle helvetes verdener, der de er primtall. Spesielt = 2 og denne fascinerende verden av null-en ...

Her kan leseren av artikkelen bli sint og til og med sint. "Er dette den typen tull som matematikere gjør?" De fantaserer om å drikke vodka etter middagen, med mine (=skattebetalers) penger. Og spre dem i fire vinder, la dem gå til statlige gårder ... å, det er ikke flere statlige gårder!

Slappe av. de hadde alltid en forkjærlighet for slike vitser. La meg bare nevne sandwich-teoremet: hvis jeg har en ost- og skinkesmørbrød, kan jeg kutte den i ett snitt for å halvere bollen, skinken og osten. Dette er ubrukelig i praksis. Poenget er at dette bare er en leken anvendelse av et interessant generelt teorem fra funksjonsanalyse.

Hvor alvorlig er det å forholde seg til -adiske tall og relatert geometri? La meg minne leseren på at rasjonelle tall (forenklet: brøker) ligger tett på linjen, men fyller den ikke tett.

Irrasjonelle tall lever i "hull". Det er mange, uendelig mange av dem, men du kan også si at deres uendelighet er større enn de enkleste, der vi teller: en, to, tre, fire ... og så videre opp til ∞. Dette er vår menneskelige fylling av "hull". Vi har arvet denne mentale strukturen fra pythagoreere. 

Men det som er interessant og viktig for en matematiker er at man ikke kan "fylle" disse hullene med irrasjonelle og p-adiske tall (for alle primtall p). For de leserne som forstår dette (og dette ble undervist på hver videregående skole for tretti år siden), er poenget at hver sekvens som tilfredsstiller Cauchys tilstand, konvergerer.

Et rom der dette er sant kalles fullstendig ("ingenting mangler"). Jeg vil huske nummeret 547721051611007740081787109376.

Sekvensen 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 og så videre konvergerer til en viss grense, som er omtrent 0,5477210516110077400 81787109376.

Men fra synspunktet til 10-adiske avstander, konvergerer sekvensen av tallene 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 og så videre også til det "merkelige" tallet ... 547721051 611007740081787109376.

Men selv det er kanskje ikke nok grunn til å gi forskerne offentlige penger. Generelt forsvarer vi (matematikere) oss med at det er umulig å forutsi hva vår forskning vil være nyttig for. Det er nesten sikkert at alle kommer til nytte og at bare handling på bred front har sjanse til å lykkes.

En av de største oppfinnelsene, røntgenmaskinen, ble skapt etter at radioaktivitet ble oppdaget ved et uhell Bekkerela. Hvis ikke for dette tilfellet, ville mange års forskning sannsynligvis vært ubrukelig. "Vi leter etter en måte å ta et røntgenbilde av menneskekroppen på."

Til slutt, det viktigste. Alle er enige om at evnen til å løse ligninger spiller en rolle. Og her er våre merkelige tall godt beskyttet. Det tilsvarende teoremet (Jeg hater minkowski) sier at noen ligninger kan løses i rasjonelle tall hvis og bare hvis de har reelle røtter og røtter i hver -adiske kropp.

Mer eller mindre denne tilnærmingen har blitt presentert Andrew Wiles, som løste den mest kjente matematiske ligningen de siste tre hundre årene - jeg anbefaler lesere å legge den inn i en søkemotor "Fermats siste teorem".