omvendt sjarm

Det snakkes mye om «sjarmen ved motsetninger», og ikke bare i matematikk. Husk at motsatte tall er de som bare skiller seg i fortegn: pluss 7 og minus 7. Summen av motsatte tall er null. Men for oss (det vil si matematikere) er gjensidigheten mer interessant. Hvis produktet av tall er lik 1, er disse tallene inverse til hverandre. Hvert tall har sin motsetning, hvert tall som ikke er null har sin invers. Det gjensidige til det gjensidige er frøet.

Inversjon skjer der to mengder er relatert til hverandre, slik at hvis den ene øker, reduseres den andre med tilsvarende hastighet. "Relevant" betyr at produktet av disse mengdene ikke endres. Vi husker fra skolen: dette er en omvendt proporsjon. Hvis jeg vil komme meg dobbelt så fort (dvs. halvere tiden), må jeg doble hastigheten. Hvis volumet av en forseglet beholder med gass reduseres med n ganger, vil trykket øke med n ganger.

I grunnopplæringen skiller vi nøye mellom differensielle og relative sammenligninger. "Hvor mye mer"? – «Hvor mange ganger mer?»

Her er noen skoleaktiviteter:

Oppgave 1. Av de to positive verdiene er den første 5 ganger større enn den andre og samtidig 5 ganger større enn den første. Hva er dimensjonene?

Oppgave 2. Hvis ett tall er 3 større enn det andre, og det andre er 2 større enn det tredje, hvor mye større er det første tallet enn det tredje? Hvis det første positive tallet er to ganger det andre, og det første tallet er tre ganger det tredje, hvor mange ganger er det første tallet større enn det tredje?

Oppgave 3. I oppgave 2 er kun naturlige tall tillatt. Er en slik ordning som beskrevet der mulig?

Oppgave 4. Av de to positive verdiene er den første 5 ganger den andre, og den andre er 5 ganger den første. Er det mulig?

Konseptet "gjennomsnittlig" eller "gjennomsnittlig" virker veldig enkelt. Hvis jeg syklet 55 km på mandag, 45 km på tirsdag, og 80 km på onsdag, syklet jeg i snitt 60 km per dag. Vi er helhjertet enige i disse beregningene, selv om de er litt merkelige fordi jeg ikke har kjørt 60 km på en dag. Vi aksepterer like gjerne andelene til en person: Hvis to hundre mennesker besøker en restaurant innen seks dager, er den gjennomsnittlige dagsprisen 33 og en tredjedel. Hm!

Det er problemer bare med den gjennomsnittlige størrelsen. Jeg liker å sykle. Så jeg benyttet meg av tilbudet fra reisebyrået «La oss gå med oss» – de leverer bagasje til hotellet, hvor klienten sykler for rekreasjonsformål. Fredag ​​kjørte jeg i fire timer: de to første i en hastighet på 24 km i timen. Så ble jeg så sliten at de to neste med en hastighet på bare 16 i timen. Hva var gjennomsnittshastigheten min? Selvfølgelig (24+16)/2=20km=20km/t.

På lørdag ble imidlertid bagasjen lagt igjen på hotellet, og jeg dro for å se ruinene av slottet, som ligger 24 km unna, og etter å ha sett dem kom jeg tilbake. Jeg kjørte en time i én retning, returnerte saktere tilbake, med en hastighet på 16 km i timen. Hva var gjennomsnittshastigheten min på ruten hotell-slott-hotell? 20 km i timen? Selvfølgelig ikke. Jeg kjørte tross alt 48 km og det tok meg halvannen time ("dit") og en og en halv time tilbake. 48 km på to og en halv time, d.v.s. time 48/2,5=192/10=19,2 km! I denne situasjonen er gjennomsnittshastigheten ikke det aritmetiske gjennomsnittet, men harmonien til de gitte verdiene:

og denne to-etasjes formelen kan leses som følger: det harmoniske gjennomsnittet av positive tall er det resiproke av det aritmetiske gjennomsnittet av deres resiproke. Det gjensidige av summen av de gjensidige vises i mange kor av skoleoppgaver: hvis en arbeider graver timer, den andre - b timer, så, når de jobber sammen, graver de i tide. vannbasseng (en per time, den andre på b timer). Hvis en motstand har R1 og den andre har R2, så har de en parallell motstand. 

Hvis en datamaskin kan løse et problem på sekunder, en annen datamaskin på b sekunder, så når de jobber sammen...

Stoppe! Det er her analogien slutter, fordi alt avhenger av hastigheten på nettverket: effektiviteten til forbindelsene. Arbeidere kan også hindre eller hjelpe hverandre. Hvis én mann kan grave en brønn på åtte timer, kan åtti arbeidere gjøre det på 1/10 av en time (eller 6 minutter)? Hvis seks portører tar pianoet til første etasje på 6 minutter, hvor lang tid vil det ta en av dem å levere pianoet til sekstiende etasje? Det absurde i slike problemer bringer tankene til den begrensede anvendeligheten av all matematikk på problemer "fra livet".

Om en mektig selger 

Vektene brukes ikke lenger. Husk at en vekt ble plassert på en skål med slike vekter, og varene som ble veid ble plassert på den andre, og når vekten var i likevekt, veide varene like mye som vekten. Selvfølgelig må begge armene til vektlasten være like lange, ellers blir veiingen feil.

Å rett. Se for deg en selger som har en vekt med ulik innflytelse. Han ønsker imidlertid å være ærlig med kundene og veier varene i to omganger. Først legger han en vekt på den ene pannen, og på den andre en tilsvarende mengde varer – slik at vekten er i balanse. Deretter veier han den andre "halvdelen" av varene i omvendt rekkefølge, det vil si at han legger vekten på den andre bollen, og varene på den første. Siden hendene er ulik, er "halvdelene" aldri like. Og selgerens samvittighet er ren, og kjøpere roser ærligheten hans: «Det jeg fjernet her, la jeg så til».

La oss imidlertid se nærmere på oppførselen til en selger som ønsker å være ærlig til tross for den prekære vekten. La vektens armer ha lengdene a og b. Hvis en av bollene er lastet med en kilosvekt og den andre med x varer, så er vekten i likevekt hvis ax = b første gang og bx = a andre gang. Så den første delen av varene er lik b / a kilogram, den andre delen er a / b. God vekt har a = b, så kjøper får 2 kg varer. La oss se hva som skjer når a ≠ b. Så a – b ≠ 0 og fra den reduserte multiplikasjonsformelen vi har

Vi kom til et uventet resultat: den tilsynelatende rettferdige metoden for å "gjennomsnitte" målingen i dette tilfellet fungerer til fordel for kjøperen, som mottar flere varer.

Oppgave 5. (Viktig, på ingen måte i matematikk!). En mygg veier 2,5 milligram, og en elefant fem tonn (dette er helt korrekte data). Beregn det aritmetiske gjennomsnittet, det geometriske gjennomsnittet og det harmoniske gjennomsnittet av mygg- og elefantmassene (vekter). Sjekk utregningene og se om de gir noen mening i tillegg til regneøvelser. La oss se på andre eksempler på matematiske beregninger som ikke gir mening i "det virkelige liv". Tips: Vi har allerede sett på ett eksempel i denne artikkelen. Betyr dette at en anonym student hvis mening jeg fant på Internett hadde rett: "Matte lurer folk med tall"?

Ja, jeg er enig i at i matematikkens storhet kan du "lure" folk - annenhver sjamporeklame sier at den øker fluffiness med noen prosent. Skal vi se etter andre eksempler på nyttige hverdagsverktøy som kan brukes til kriminell virksomhet?

gram!

Tittelen på denne passasjen er et verb (første person flertall) ikke et substantiv (nominativ flertall av en tusendel av en kilo). Harmoni innebærer orden og musikk. For de gamle grekerne var musikk en gren av vitenskapen – det må innrømmes at hvis vi sier det, overfører vi dagens betydning av ordet «vitenskap» til tiden før vår tidsregning. Pythagoras levde i det XNUMX. århundre f.Kr.. Ikke bare kjente han ikke til en datamaskin, mobiltelefon og e-post, men han visste heller ikke hvem Robert Lewandowski, Mieszko I, Charlemagne og Cicero var. Han kunne verken arabiske eller romerske tall (de kom i bruk rundt XNUMX-tallet f.Kr.), han visste ikke hva de puniske krigene var ... Men han kunne musikk ...

Han visste at på strengeinstrumenter var vibrasjonskoeffisienten omvendt proporsjonal med lengden på de vibrerende delene av strengene. Han visste, han visste, han kunne bare ikke uttrykke det slik vi gjør det i dag.

Frekvensene til de to strengvibrasjonene som utgjør en oktav er i forholdet 1:2, det vil si at frekvensen til den høyere tonen er dobbelt så stor som frekvensen til den lavere. Riktig vibrasjonsforhold for femte er 2:3, fjerde er 3:4, ren dur tredje er 4:5, mindre tredje er 5:6. Dette er hyggelige konsonantintervaller. Så er det to nøytrale, med vibrasjonsforhold på 6:7 og 7:8, deretter dissonante - en stor tone (8:9), en liten tone (9:10). Disse brøkene (forholdene) er som forholdet mellom påfølgende medlemmer av en sekvens som matematikere (av denne grunn) kaller den harmoniske serien:

er en teoretisk uendelig sum. Oscillasjonsforholdet til oktaven kan skrives som 2:4 og sette en femtedel mellom dem: 2:3:4, det vil si at vi deler oktaven i en kvint og en fjerde. Dette kalles harmonisk segmentdeling i matematikk:

Ris. 1. For en musiker: å dele oktaven AB i den femte AC.For matematiker: Harmonisk segmentering

Hva mener jeg når jeg snakker (over) om en teoretisk uendelig sum, for eksempel den harmoniske rekken? Det viser seg at en slik sum kan være et hvilket som helst stort tall, det viktigste er at vi legger til i lang tid. Det blir færre og færre ingredienser, men det blir stadig flere av dem. Hva råder? Her går vi inn i riket av matematisk analyse. Det viser seg at ingrediensene er oppbrukt, men ikke veldig raskt. Jeg vil vise at ved å ta nok ingredienser kan jeg oppsummere:

vilkårlig stor. La oss ta "for eksempel" n = 1024. La oss gruppere ordene som vist på figuren:

I hver parentes er hvert ord større enn det forrige, bortsett fra selvfølgelig det siste, som er lik seg selv. I de følgende parentesene har vi 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 og 512 komponenter; verdien av summen i hver parentes er større enn ½. Alt dette er mer enn 5½. Mer nøyaktige beregninger vil vise at dette beløpet er omtrent 7,50918. Ikke mye, men alltid, og du kan se at ved å ta n hvilket som helst stort, kan jeg overgå et hvilket som helst tall. Denne er utrolig treg (for eksempel topper vi ti med ingredienser alene), men uendelig vekst har alltid fascinert matematikere.

Reis til det uendelige med den harmoniske serien

Her er et puslespill til ganske seriøs matematikk. Vi har et ubegrenset tilbud av rektangulære blokker (hva kan jeg si, rektangulære!) med dimensjoner for eksempel 4 × 2 × 1. Tenk på et system som består av flere (på Fig. 2 - fire) blokker, arrangert slik at den første helles med ½ av lengden, den andre ovenfra med ¼ og så videre, den tredje med en sjettedel. Vel, kanskje for å gjøre den veldig stabil, la oss vippe den første klossen litt mindre. Det spiller ingen rolle for beregninger.

Ris. 2. Bestemme tyngdepunktet

Det er også lett å forstå at siden figuren som består av de to første blokkene (teller ovenfra) har et symmetrisenter i punkt B, så er B tyngdepunktet. La oss definere geometrisk tyngdepunktet til systemet, sammensatt av de tre øvre blokkene. Et veldig enkelt argument er nok her. La oss mentalt dele treblokkkomposisjonen i to øvre og en tredje nedre. Dette senteret må ligge på seksjonen som forbinder tyngdepunktene til de to delene. På hvilket tidspunkt i denne episoden?

Det er to måter å utpeke. I den første vil vi bruke observasjonen at dette senteret må ligge i midten av treblokkpyramiden, dvs. på en rett linje som skjærer den andre, midtre blokken. På den andre måten forstår vi at siden de to øverste blokkene har en total masse på det dobbelte av en enkelt blokk #3 (øverst), må tyngdepunktet på denne seksjonen være dobbelt så nær B som det er til midten S for tredje blokk. På samme måte finner vi neste punkt: vi kobler det funnet sentrum av de tre blokkene med sentrum S av den fjerde blokken. Sentrum av hele systemet er på høyde 2 og på punktet som deler segmentet med 1 til 3 (det vil si med ¾ av lengden).

Beregningene som vi skal utføre litt videre fører til resultatet vist i fig. fig. 3. Påfølgende tyngdepunkt fjernes fra høyre kant av den nedre blokken ved å:

Dermed er projeksjonen av tyngdepunktet til pyramiden alltid innenfor basen. Tårnet vil ikke velte. La oss nå se på Fig. 3 og for et øyeblikk, la oss bruke den femte blokken fra toppen som base (den merket med den lysere fargen). Topp tilbøyelig:

dermed er dens venstre kant 1 lenger enn den høyre kanten av basen. Her er neste sving:

Hva er den største svingen? Vi vet allerede! Det er ingen største! Hvis du tar selv de minste blokkene, kan du få et overheng på én kilometer - dessverre, bare matematisk: hele jorden ville ikke være nok til å bygge så mange blokker!

Ris. 3. Legg til flere blokker

Nå beregningene som vi forlot ovenfor. Vi vil beregne alle avstander "horisontalt" på x-aksen, fordi det er alt som skal til. Punkt A (tyngdepunktet til den første blokken) er 1/2 fra høyre kant. Punkt B (sentrum av toblokksystemet) er 1/4 unna høyre kant av den andre blokken. La utgangspunktet være slutten av den andre blokken (nå går vi videre til den tredje). For eksempel, hvor er tyngdepunktet til enkeltblokk #3? Halve lengden av denne blokken er derfor 1/2 + 1/4 = 3/4 fra referansepunktet vårt. Hvor er punkt C? I to tredjedeler av segmentet mellom 3/4 og 1/4, dvs. på punktet før, endrer vi referansepunktet til høyre kant av den tredje blokken. Tyngdepunktet til treblokksystemet er nå fjernet fra det nye referansepunktet, og så videre. Tyngdepunkt C_n et tårn sammensatt av n blokker er 1/2n unna det øyeblikkelige referansepunktet, som er den høyre kanten av basisblokken, dvs. den n'te blokken fra toppen.

Siden rekken av gjensidige divergerer, kan vi få stor variasjon. Kan dette faktisk gjennomføres? Det er som et endeløst murtårn – før eller siden vil det kollapse under sin egen vekt. I vårt opplegg betyr de minimale unøyaktighetene i blokkplassering (og den langsomme økningen i delsummer av serien) at vi ikke kommer veldig langt.