Ligninger, koder, chiffer, matematikk og poesi

Michal Shurek sier om seg selv: "Jeg ble født i 1946. Jeg ble uteksaminert fra universitetet i Warszawa i 1968 og siden den gang har jeg jobbet ved fakultetet for matematikk, informatikk og mekanikk. Vitenskapelig spesialisering: algebraisk geometri. Jeg har nylig jobbet med vektorbunter. Hva er en vektorstråle? Så vektorene må være tett bundet med en tråd, og vi har allerede en haug. Fysikervennen min Anthony Sim fikk meg til å bli med i Young Technician (han innrømmer at han burde få royalties fra honorarene mine). Jeg skrev noen artikler og så ble jeg, og siden 1978 kan du lese hver måned hva jeg synes om matematikk. Jeg elsker fjell, og til tross for at jeg er overvektig, prøver jeg å gå. Jeg tror lærerne er de viktigste. Jeg ville holdt politikere, uansett valg, i et sterkt bevoktet område slik at de ikke kan rømme. Mat en gang om dagen. En beagle fra Tulek liker meg.

En ligning er som et chiffer for en matematiker. Å løse ligninger, kvintessensen av matematikk, er lesing av chiffertekst. Dette har blitt lagt merke til av teologer siden XNUMXth århundre. Johannes Paul II, som kunne matematikk, skrev og nevnte dette flere ganger i sine prekener - dessverre er fakta slettet fra hukommelsen min.

I skolevitenskap er det representert Pythagoras som forfatter av teoremet om en viss avhengighet i en rettvinklet trekant. Så det ble en del av vår eurosentriske filosofi. Og likevel har Pythagoras mye flere dyder. Det var han som påla sine elever plikten til å "kjenne verden", fra "hva er bak denne bakken?" før du studerer stjernene. Det er derfor europeere "oppdaget" eldgamle sivilisasjoner, og ikke omvendt.

Noen lesere huskerViète mønstreog"; mange eldre lesere husker selve begrepet fra skolen og omtrent det faktum at spørsmålet dukket opp i andregradsligninger. Disse regelmessighetene er "ideologisk" kryptering informasjon.

Ikke rart en Francois Viet (1540-1603) var engasjert i kryptografi ved hoffet til Henrik IV (den første franske kongen fra Bourbon-dynastiet, 1553-1610) og klarte å knekke chifferen som ble brukt av britene i krigen med Frankrike. Så han spilte den samme rollen som de polske matematikerne (ledet av Marian Rejewski), som oppdaget hemmelighetene til den tyske Enigma-chiffermaskinen før andre verdenskrig.

motetema

Nøyaktig. Temaet "koder og chiffer" har for lengst blitt mote i undervisningen. Jeg har allerede skrevet om dette flere ganger, og om to måneder kommer det en serie til. Denne gangen skriver jeg under inntrykk av en film om krigen i 1920, der seieren i stor grad skyldtes brudd på koden til de bolsjevikiske troppene av et team ledet av den da unge Vaclav Serpinsky (1882-1969). Nei, det er ikke Enigma ennå, det er bare en introduksjon. Jeg husker en scene fra filmen hvor Józef Piłsudski (spilt av Daniil Olbrychski) sier til lederen av chifferavdelingen:

De dekodede meldingene bar et viktig budskap: Tukhachevskys tropper ville ikke motta støtte. Du kan angripe!

Jeg kjente at Vaclav Sierpinski (om jeg kan si det: Jeg var en ung student, han var en berømt professor), deltok på forelesningene og seminarene hans. Han ga inntrykk av en vissent lærd, fraværende, opptatt med sin disiplin og ikke ser den andre verden. Han foreleste spesifikt, vendt mot tavlen, ikke så på publikum ... men han følte seg som en fremragende spesialist. På en eller annen måte hadde han visse matematiske evner - for eksempel til å løse problemer. Det er andre – forskere som er relativt dårlige til å løse gåter, men som har en dyp forståelse av hele teorien og er i stand til å sette i gang hele kreativitetsfelt. Vi trenger begge deler - selv om den første vil bevege seg raskere.

Vaclav Sierpinski snakket aldri om prestasjonene hans i 1920. Frem til 1939 måtte dette definitivt holdes hemmelig, og etter 1945 nøt ikke de som kjempet med Sovjet-Russland sympatien fra daværende myndigheter. Min overbevisning om at det trengs forskere, som en hær, er bevist: «i tilfelle». Her er president Roosevelt som ringer Einstein:

Den fremragende russiske matematikeren Igor Arnold sa åpent og trist at krigen hadde stor innflytelse på utviklingen av matematikk og fysikk (radar og GPS hadde også et militært opphav). Jeg går ikke inn på det moralske aspektet ved bruken av atombomben: her er forlengelsen av krigen i ett år og døden til flere millioner av deres egne soldater – det er lidelsen til uskyldige sivile.

***

Jeg løper bort til kjente områder - k. Mange av oss lekte med kodene, kanskje speiding, kanskje bare sånn. Enkle siffer, basert på prinsippet om å erstatte bokstaver med andre bokstaver eller andre tall, brytes rutinemessig hvis vi bare fanger noen få ledetråder (for eksempel gjetter vi kongens navn). Statistisk analyse hjelper også i dag. Verre, når alt er foranderlig. Men det verste er når det ikke er regelmessighet. Tenk på koden beskrevet i The Adventures of the Good Soldier Schweik. Ta en bok, for eksempel, Flommen. Her er forslagene på første og andre side.

Vi ønsker å kode ordet "CAT". Vi åpner på side 1 og neste sekund. Vi finner at på side 1 dukker først bokstaven K opp på 59. plass. Vi finner det femti-niende ordet på motsatt side, den andre siden. Det er et "a"-ord. Nå er bokstaven O. Til venstre er det 16. ordet, og det sekstende til høyre er "Mr." Bokstaven T står på 95. plass, hvis jeg telte riktig, og det nittifemte ordet fra høyre er «o». Så, CAT = 1 LORD O.

Et "uutsettelig" chiffer, om enn smertefullt tregt både for kryptering og ... for å gjette. Anta at vi vil sende bokstaven M. Vi kan sjekke om vi koder den med ordet "Wołodyjowski". Og etter oss forbereder de allerede en fengselscelle. Vi kan bare regne med en erstatning! I tillegg noterer kontraspionasje rapporter om hemmelige ansatte som i noen tid har kunder villig kjøpt det første bindet av The Flood.

Artikkelen min er et bidrag til denne oppgaven: selv de mest bisarre ideene til matematikere kan finne anvendelse i en bredt forstått praksis. Er det for eksempel mulig å forestille seg en mindre nyttig matematisk oppdagelse enn kriteriet for delbarhet ... med 47?

Når trenger vi det i livet? Og i så fall vil det være lettere å prøve å skille det. Hvis det deler seg, så er det bra, hvis ikke, så ... sekundært er det bra (vi vet at det ikke deler).

Hvordan dele og hvorfor

Etter denne introduksjonen, la oss gå videre til. Kjenner dere lesere noen tegn på delbarhet? Helt sikkert. Partall ender på 2, 4, 6, 8 eller null. Et tall er delelig med tre hvis summen av sifrene er delelig med tre. Tilsvarende, med tegnet for delbarhet med ni - summen av sifrene må være delelig med ni.

Hvem trenger det? Jeg ville lyve hvis jeg overbeviste leseren om at han var god til alt annet enn... skoleoppgaver. Vel, og en annen funksjon av delbarhet med 4 (og hva er det, leser? Kanskje du vil bruke det når du vil vite hvilket år neste olympiade faller på ...). Men trekk ved delbarhet med 47? Dette er allerede en hodepine. Vil vi noen gang vite om noe er delelig med 47? Hvis ja, ta en kalkulator og se.

Dette. Du har rett, leser. Og likevel, les videre. Vær så snill.

Delbarhet med 47: Tallet 100+ er delelig med 47 hvis og bare hvis 47 er delelig med +8.

Matematikeren vil smile fornøyd: "Jøss, pen." Men matematikk er matematikk. Bevis er viktig, og vi legger merke til dens skjønnhet. Hvordan bevise egenskapene våre? Det er veldig enkelt. Trekk fra 100 + tallet 94 - 47 = 47 (2 -). Vi får 100+-94+47=6+48=6(+8).

Vi har trukket fra et tall som er delelig med 47, så hvis 6 (+ 8) er delelig med 47, så er det 100 +. Men tallet 6 er relativt primtall til 47, noe som betyr at 6 (+ 8) er delelig med 47 hvis og bare hvis det er + 8. Slutt på bevis.

La oss se Noen eksempler.

8805685 er delelig med 47? Hvis vi virkelig er interessert i det, finner vi ut av det før bare ved å dele oss slik vi ble lært på barneskolen. På en eller annen måte, nå er det en kalkulator i hver mobiltelefon. Delt? Ja, privat 187355.

Vel, la oss se hva tegnet på delbarhet forteller oss. Vi kobler fra de to siste sifrene, multipliserer dem med 8, legger til resultatet til det "avkortede tallet" og gjør det samme med det resulterende tallet.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

Vi ser at 94 er delelig med 47 (kvotienten er 2), som betyr at det opprinnelige tallet også er delelig. Fint. Men hva om vi fortsetter å ha det gøy?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Nå må vi stoppe. Førtisju er delelig med 47, ikke sant?

Trenger vi virkelig å stoppe? Hva om vi går videre? Herregud, alt kan skje ... jeg vil utelate detaljene. Kanskje bare begynnelsen:

47 → 0 + 8 47 = 376 → 3 + 8 76 = 611 → 6 + 8 11 = 94 → 0 + 8 94 = 752.

Men dessverre er det like vanedannende som å tygge frø ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ah, førtisju. Det skjedde før. Hva blir det neste? . Samme. Tallene går i en løkke som dette:

Det er veldig interessant. Så mange løkker.

To følgende eksempler.

Vi vil vite om 10017627 er delelig med 47. Hvorfor trenger vi denne kunnskapen? Vi husker prinsippet: ve kunnskap som ikke hjelper den som vet. Kunnskap er alltid der for noe. Det vil være for noe, men nå skal jeg ikke forklare. Noen flere kontoer:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Han endret onkelen fra en øks til en stokk." Hva får vi ut av alt dette?

Vel, la oss gjenta prosessen. Det vil si at vi vil fortsette å gjøre dette (det vil si ordet "iterate").

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

La oss stoppe spillet, dele som på skolen (eller på en kalkulator): 235 = 5 47. Bingo. Det opprinnelige tallet 10017627 er delelig med 47.

Bra gjort!

Hva om vi går videre? Stol på meg, du kan sjekke det ut.

Og enda et interessant faktum. Vi ønsker å sjekke om 799 er delelig med 47. Vi bruker delebarhetsfunksjonen. Vi kobler fra de to siste sifrene, multipliserer det resulterende tallet med 8 og legger til det som er igjen:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Hva vi har? Er 799 delelig med 47 hvis og bare hvis 799 er delelig med 47? Ja, det stemmer, men det trengs ingen matematikk for dette!!! Oljen er fet (minst denne oljen er fet).

Om bladet, pirater og slutten på vitser!

To historier til. Hvor er det beste stedet å gjemme et blad? Svaret er åpenbart: i skogen! Men hvordan kan du finne det da?

Den andre kjenner vi fra bøker om pirater som vi leste for lenge siden. Piratene laget et kart over stedet der de begravde skatten. Andre stjal den eller vant kampen. Men kartet viste ikke hvilken øy det var beregnet på. Og se selv! Selvsagt taklet piratene dette (tortur) – chifferene jeg snakker om kan også trekkes ut ved hjelp av slike metoder.

Slutt på vitser. Leser! Vi lager et chiffer. Jeg er en undercover-spion og bruker "Junior Technician" som kontaktboks. Videresend meg krypterte meldinger som følger.

Konverter først teksten til en tallstreng ved å bruke koden: AB CDEFGH IJ KLMN PÅ RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Som du kan se, bruker vi ikke polske diakritiske tegn (dvs. uten ą, ę, ć, ń, ó, ś) og ikke-polske q, v - men den ikke-polske x er der for sikkerhets skyld. La oss inkludere ytterligere 25 som et mellomrom (mellomrom mellom ord). Å, det viktigste. Vennligst bruk kode nr. 47.

Du vet hva det betyr. Du går til en venn av matematikeren.

Vennen fikk store øyne av overraskelse.

Du svarer stolt:

En matematiker gir deg denne egenskapen ... og du vet allerede at en funksjon som ikke ser iøynefallende ut brukes til kryptering

fordi et slikt mønster er en beskrevet handling

100 + → + 8.

Så når du vil vite hva et tall betyr, som 77777777 i en kryptert melding, bruker du funksjonen

100 + → + 8

til du får et tall mellom 1 og 25. Se nå på den eksplisitte alfanumeriske koden. La oss se: 77777777 →... Jeg overlater dette til deg som en oppgave. Men la oss se hvilken bokstav 48 skjuler? La oss lese:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Så får vi i tur og orden:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432...

Slutten er ikke i sikte. Først etter den sekstiende (!) gang vises et tall mindre enn 25. Dette er 3, som betyr at 48 er bokstaven C.

Og hva gir dette budskapet oss? (Jeg vil minne om at vi bruker kodenummer 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 – 341 – XNUMX

Vel, tenk på det, hva er så komplisert, noen kontoer. Vi har begynt. Tidlig 80. Kjent regel:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Det fortsetter slik:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Spise! Den første bokstaven i meldingen er K. Puh, enkelt, men hvor lang tid vil det ta?

La oss også se hvor mye problemer vi har med tallet 1234567. Først på den sekstende gangen får vi et tall mindre enn 25, nemlig 12. Så 1234567 er L.

Ok, kan man si, men denne aritmetiske operasjonen er så enkel at programmering på en datamaskin vil knekke koden med en gang. Ja det er sant. Dette er enkle databeregninger. idé med offentlig siffer og det handler også om å gjøre beregningene vanskelige for datamaskinen. La det virke i minst hundre år. Vil han dekryptere meldingen? Spiller ingen rolle. Det spiller ingen rolle på lang tid. Dette er (mer eller mindre) hva offentlige chiffer handler om. De kan bli ødelagt hvis du jobber veldig lenge ... helt til nyhetene ikke lenger er aktuelle.

 det har alltid født "motvåpen". Det hele startet med et sverd og skjold. De hemmelige tjenestene betaler enorme pengesummer til begavede matematikere for å finne opp krypteringsmetoder som datamaskiner (inkludert de som er laget av oss) ikke vil være i stand til å knekke i det XNUMX. århundre.

tjueandre århundre? Det er ikke så vanskelig å vite at det allerede er mange mennesker i verden som vil leve i dette vakre århundre!

Å ikke sant? Hva om jeg ber (meg, den hemmelige offiseren kontaktet av den "unge teknikeren") om å kryptere med kodenummer 23? Eller 17? Enkel:

Måtte vi aldri bruke matematikk til slike formål.

***

Tittelen på artikkelen handler om poesi. Hva har hun med dette å gjøre?

Som hva? Poesi krypterer også verden.

Hvordan?

Ved deres metoder - lik algebraiske.