fem ganger i øyet

På slutten av 2020 ble det holdt flere arrangementer ved universiteter og skoler, utsatt fra ... mars. En av dem var "feiringen" av pi-dagen. Ved denne anledningen, 8. desember, holdt jeg en fjernforelesning ved Universitetet i Schlesia, og denne artikkelen er et sammendrag av forelesningen. Hele festen startet 9.42, og foredraget mitt er berammet til 10.28. Hvor kommer en slik nøyaktighet fra? Det er enkelt: 3 ganger pi er omtrent 9,42, og π til 2. potens er omtrent 9,88, og timen 9 til 88. potens er 10 til 28.

Skikken med å hedre dette nummeret, uttrykker forholdet mellom omkretsen av en sirkel og diameteren og noen ganger kalt Arkimedes-konstanten (så vel som i tysktalende kulturer), kommer fra USA (se også: ). 3.14 mars “American style” kl 22:22, derav ideen. Den polske ekvivalenten kan være 7. juli fordi brøken 14/XNUMX tilnærmer π godt, noe...Archimedes allerede visste. Vel, mars XNUMX er den beste tiden for sidebegivenheter.

Disse tre og fjorten hundredeler er en av få matematiske meldinger som har blitt med oss ​​fra skolen for livet. Alle vet hva det betyr"fem ganger i øyet". Det er så inngrodd i språket at det er vanskelig å uttrykke det annerledes og med samme ynde. Da jeg spurte på bilverkstedet hvor mye reparasjonen kunne koste, tenkte mekanikeren på det og sa: "fem ganger rundt åtte hundre zloty." Jeg bestemte meg for å utnytte situasjonen. "Du mener en grov tilnærming?". Mekanikeren må ha trodd at jeg hadde hørt feil, så han gjentok: "Jeg vet ikke nøyaktig hvor mye, men fem ganger med øye ville være 800."

.

Hva handler det om? Stavemåte før andre verdenskrig brukte "nei" sammen, og jeg lot det være der. Vi har ikke her å gjøre med unødvendig storslått poesi, selv om jeg liker tanken på at «et gullskip pumper lykke». Spør elevene: Hva betyr denne tanken? Men verdien av denne teksten ligger et annet sted. Antall bokstaver i de følgende ordene er sifrene i pi-utvidelsen. La oss se:

Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284

I 1596, en nederlandsk vitenskapsmann av tysk opprinnelse Ludolph van Seulen beregnet verdien av pi til 35 desimaler. Så ble disse figurene gravert på graven hans. Hun dedikerte et dikt til nummeret pi og til vår nobelprisvinner, Vislava Shimborska. Szymborska var fascinert av ikke-periodisiteten til dette nummeret og det faktum at med sannsynlighet 1 vil hver sekvens av sifre, for eksempel telefonnummeret vårt, forekomme der. Mens den første egenskapen er iboende i hvert irrasjonelt tall (som vi bør huske fra skolen), er den andre et interessant matematisk faktum som er vanskelig å bevise. Du kan til og med finne apper som tilbyr: gi meg telefonnummeret ditt, så skal jeg fortelle deg hvor det er i pi.

Der det er rundhet, er det søvn. Hvis vi har en rund innsjø, så er det å gå rundt den 1,57 ganger lengre enn å svømme. Det betyr selvsagt ikke at vi skal svømme halvannen til to ganger saktere enn vi passerer. Jeg delte verdensrekorden på 100 meter med verdensrekorden på 100 meter. Interessant, hos menn og kvinner er resultatet nesten det samme og er 4,9. Vi svømmer 5 ganger saktere enn vi løper. Roing er helt annerledes – men en interessant utfordring. Den har en ganske lang historie.

På flukt fra den forfølgende skurken seilte den kjekke og edle gode til sjøen. Skurken løper langs kysten og venter på at hun skal få ham til å lande. Selvfølgelig løper han raskere enn Dobry rader, og hvis han løper jevnt, er Dobry raskere. Så den eneste sjansen for Evil er å få Good fra land - et nøyaktig skudd fra en revolver er ikke et alternativ, fordi. Good har verdifull informasjon som det onde ønsker å vite.

Good følger følgende strategi. Han svømmer over innsjøen, nærmer seg gradvis kysten, men prøver alltid å være på motsatt side av den onde, som tilfeldig løper til venstre og deretter til høyre. Dette er vist i figuren. La Evil startposisjon være Z₁, og Dobre er midten av innsjøen. Når Zly flytter til Z₁, Dobro vil seile til D.₁når Bad er i Z₂, bra på D₂. Det vil flyte i sikksakk-måte, men i samsvar med regelen: så langt som mulig fra Z. Men når det beveger seg bort fra sentrum av innsjøen, må Good bevege seg i større og større sirkler, og på et tidspunkt kan det ikke følge prinsippet «å være på den andre siden av det onde». Så rodde han av all kraft til kysten, i håp om at den onde ikke ville gå utenom innsjøen. Vil Good lykkes?

Svaret avhenger av hvor fort Good kan ro i forhold til verdien av Bads ben. Anta at den dårlige mannen løper med en hastighet som er ganger hastigheten til den gode mannen på sjøen. Derfor har den største sirkelen, som Good kan ro på for å motstå det onde, en radius som er én ganger mindre enn radiusen til en innsjø. Så, på tegningen vi har. Ved punkt W begynner vår Kind å ro mot land. Dette må gå 

 med fart

Han trenger tid.

Wicked jager alle sine beste føtter. Han må fullføre halvparten av sirkelen, noe som vil ta ham sekunder eller minutter, avhengig av enhetene som er valgt. Hvis dette er mer enn en lykkelig slutt:

Den gode vil gå. Enkle kontoer viser hva det skal være. Hvis den dårlige mannen løper fortere enn 4,14 ganger den gode mannen, ender det ikke bra. Og også her griper vårt nummer pi inn.

Det som er rundt er vakkert. La oss se på bildet av tre dekorative tallerkener - jeg har dem etter foreldrene mine. Hva er arealet av den krumlinjede trekanten mellom dem? Dette er en enkel oppgave; svaret er på samme bilde. Vi er ikke overrasket over at det vises i formelen - når alt kommer til alt, der det er rundhet, er det pi.

Jeg brukte et muligens ukjent ord:. Dette er navnet på tallet pi i den tysktalende kulturen, og alt dette takket være nederlenderne (faktisk en tysker som bodde i Nederland - nasjonalitet spilte ingen rolle på den tiden), Ludolf av Seoulen... I 1596 g. han beregnet 35 sifre av utvidelsen til desimal. Denne rekorden holdt til 1853, da William Rutherford telte 440 plasser. Rekordholderen for manuelle beregninger er (sannsynligvis for alltid) William Shankssom etter mange års arbeid publiserte (i 1873) utvidelse til 702 sifre. Først i 1946 ble de siste 180 sifrene funnet å være feil, men det forble slik. 527 riktig. Det var interessant å finne selve feilen. Rett etter publiseringen av Shanks' resultat mistenkte de at «noe var galt» – det var mistenkelig få sjuere i utvikling. Den ennå uprøvde (desember 2020) hypotesen sier at alle tall skal vises med samme frekvens. Dette fikk D.T. Ferguson til å revidere Shanks' beregninger og finne "lærerens" feil!

Senere hjalp kalkulatorer og datamaskiner folk. Den nåværende (desember 2020) rekordholderen er Timothy Mullican (50 billioner desimaler). Beregningene tok ... 303 dager. La oss leke: hvor mye plass dette nummeret vil ta, trykt i en standardbok. Inntil nylig var den trykte "siden" av teksten 1800 tegn (30 linjer ganger 60 linjer). La oss redusere antall tegn og sidemarger, stappe 5000 tegn per side og skrive ut 50 siders bøker. Så XNUMX billioner karakterer ville ta ti millioner bøker. Ikke verst, ikke sant?

Spørsmålet er, hva er vitsen med en slik kamp? Fra et rent økonomisk synspunkt, hvorfor skal skattebetaleren betale for slik "underholdning" av matematikere? Svaret er ikke vanskelig. Først, fra Seoulen oppfunnet blanks for beregninger, da nyttig for logaritmiske beregninger. Hvis han hadde blitt fortalt: vær så snill, bygg blanke, ville han ha svart: hvorfor? På samme måte kommando:. Som du vet var denne oppdagelsen ikke helt tilfeldig, men likevel et biprodukt av forskning av en annen type.

For det andre, la oss lese hva han skriver Timothy Mullican. Her er en gjengivelse av begynnelsen av arbeidet hans. Professor Mullican er i cybersikkerhet, og pi er en så liten hobby som han nettopp testet det nye cybersikkerhetssystemet sitt på.

Og at 3,14159 i ingeniørfag er mer enn nok, det er en annen sak. La oss gjøre en enkel beregning. Jupiter er 4,774 Tm unna Solen (terameter = 1012 meter). For å beregne omkretsen til en slik sirkel med en slik radius til en absurd presisjon på 1 millimeter, ville det være nok å ta π = 3,1415926535897932.

Følgende bilde viser en kvart sirkel av legoklosser. Jeg brukte 1774 pads og det var omtrent 3,08 pi. Ikke den beste, men hva kan du forvente? En sirkel kan ikke bestå av firkanter.

Nøyaktig. Tallet pi er kjent for å være sirkel kvadrat - et matematisk problem som har ventet på løsningen i mer enn 2000 år - siden gresk tid. Kan du bruke et kompass og en rettekant til å konstruere en firkant hvis areal er lik arealet av den gitte sirkelen?

Begrepet «sirkelkvadrat» har gått inn i talespråket som et symbol på noe umulig. Jeg trykker på tasten for å spørre, er dette et slags forsøk på å fylle grøften av fiendtlighet som skiller innbyggerne i vårt vakre land? Men jeg unngår allerede dette temaet, for jeg føler nok bare i matematikk.

Og igjen det samme - løsningen på problemet med å kvadrere sirkelen dukket ikke opp på en slik måte at forfatteren av løsningen, Charles Lindemann, i 1882 ble han satt opp og lyktes til slutt. Til en viss grad ja, men det var et resultat av et angrep fra bred front. Matematikere har lært at det finnes forskjellige typer tall. Ikke bare heltall, rasjonelle (det vil si brøker) og irrasjonelle. Umålbarhet kan også være bedre eller verre. Vi husker kanskje fra skolen at det irrasjonelle tallet er √2 - et tall som uttrykker forholdet mellom lengden på diagonalen til en firkant og lengden på siden. Som ethvert irrasjonelt tall har det en ubestemt forlengelse. La meg minne om at periodisk ekspansjon er en egenskap ved rasjonelle tall, dvs. private heltall:

Her gjentas tallsekvensen 142857 på ubestemt tid. For √2 vil dette ikke skje - dette er en del av irrasjonaliteten. Men du kan:

(brøkdel fortsetter for alltid). Vi ser et mønster her, men av en annen type. Pi er ikke engang så vanlig. Det kan ikke oppnås ved å løse en algebraisk ligning - det vil si en der det verken er en kvadratrot, logaritme eller trigonometriske funksjoner. Dette viser allerede at det ikke er konstruerbart - å tegne sirkler fører til kvadratiske funksjoner, og linjer - rette linjer - til ligninger av første grad.

Kanskje jeg avvek fra hovedplottet. Bare utviklingen av all matematikk gjorde det mulig å vende tilbake til opprinnelsen - til den eldgamle vakre matematikken til tenkerne som skapte for oss den europeiske tankekulturen, som er så tvilsom i dag av noen.

Av de mange representative mønstrene valgte jeg to. Den første av dem forbinder vi med etternavnet Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Men han var kjent (modell, ikke Leibniz) for den middelalderske hinduforskeren Madhava fra Sangamagram (1350-1425). Overføringen av informasjon på den tiden var ikke stor - Internett-tilkoblinger var ofte buggy, og det fantes ingen batterier for mobiltelefoner (fordi elektronikken ennå ikke var oppfunnet!). Formelen er vakker, men ubrukelig for beregninger. Fra hundre ingredienser oppnås "bare" 3,15159.

han er litt bedre wzór Viète'a (den fra andregradsligninger) og formelen er enkel å programmere fordi neste ledd i produktet er kvadratroten av forrige pluss to.

Vi vet at sirkelen er rund. Vi kan si at dette er en 100 prosent runde. Matematikeren vil spørre: kan noe ikke være 1 prosent rundt? Tilsynelatende er dette en oksymoron, en setning som inneholder en skjult motsetning, som for eksempel varm is. Men la oss prøve å måle hvor runde formene kan være. Det viser seg at et godt mål er gitt av følgende formel, der S er arealet og L er omkretsen av figuren. La oss finne ut at sirkelen virkelig er rund, at sigmaen er 6. Arealet av sirkelen er omkretsen. Vi setter inn ... og ser hva som er rett. Hvor rund er firkanten? Beregningene er like enkle, jeg vil ikke engang gi dem. Ta en vanlig sekskant innskrevet i en sirkel med en radius. Omkretsen er åpenbart XNUMX.

Stang

Hva med en vanlig sekskant? Dens omkrets er 6 og området

Så vi har

som er omtrent lik 0,952. Sekskanten er mer enn 95 % "rund".

Et interessant resultat oppnås når man beregner rundheten til en sportsstadion. I følge IAAFs regler skal rette og kurver være 40 meter lange, selv om avvik er tillatt. Jeg husker at Bislet stadion i Oslo var smal og lang. Jeg skriver "var" fordi jeg til og med kjørte på det (for en amatør!), men for mer enn XNUMX år siden. La oss ta en titt:

Hvis buen har en radius på 100 meter, er radiusen til den buen meter. Arealet på plenen er kvadratmeter, og området utenfor den (der det er springbrett) utgjør totalt kvadratmeter. La oss koble dette inn i formelen:

Så har rundheten til en idrettsstadion noe å gjøre med en likesidet trekant? Fordi høyden på en likesidet trekant er like mange ganger siden. Det er et tilfeldig sammentreff av tall, men det er fint. Jeg liker det. Og leserne?

Vel, det er bra at det er rundt, selv om noen kanskje protesterer fordi viruset som påvirker oss alle er rundt. Det er i hvert fall slik de tegner det.